又、土星の最大衛星タイタンと氷衛星クリサリスが3:1で共鳴すると350万年後にクリサリスの公転軌道が楕円軌道に変化して土星に衝突する事も発見しました。（タイタンの直ぐ外側のヒペリオンを含めたシミュレーション）
カッシーニが撮影した映像
補足テキスト
1. 土星内部モデルと角運動量制約
ここでは、追加の内部モデルの結果を示します。 私たちの分析は、土星の重力高調波 J2、J4、および J6 の高精度宇宙船測定が、海王星との共鳴の臨界値 Jc 以上の値を除外するために、惑星の正規化された角運動量 J を十分に厳密に制限するという結果に依存しています。 Jc は 0.087360 ～ 0.087395 の小さな範囲にあることがわかります。 重力高調波によって許容される J の値の中には、Jc の 0.5% 近くにあるものもありますが、ここでは、モデリングの不確実性によってこのギャップが解消されないことを確認します。 土星の軸歳差運動は現在、海王星と共鳴していません。
公開された J2、J4、および J6 は Re = 60330 km に正規化されていますが、内部モデルは観測された 1 気圧半径 Re = 60268 km に正規化された値に一致しています。 計算におけるすべての正規化は、後者の数値と一致しています。
図 S2 では、次のように、a) J2 のみに一致する、b) J2 と J4 に一致する、または c) J2、J4 に一致する 4 つの定密度回転楕円体を持つモデルのアンサンブルから生じる許容角運動量値の確率密度をプロットします。 J6も。 J2 のみが一致する場合、臨界値を超える角運動量値が許可されます。 モデルを拘束するために J4 が追加されている場合は、臨界値に近いかそれを超える角運動量の値が除外されます。 J6 がモデルの制約として導入された場合、より低い角運動量の値も除外されます。 これらの計算はすべて、4 つの回転楕円体を使用した CMS メソッドで実行されました。 赤道半径と 3 つの内側回転楕円体の密度は変化させました。 回転楕円体の形状は、等電位面を表すまで調整されました。 次に、重力高調波と角運動量が導き出されました。 差動回転による影響は含まれていません。 図S2では、10:33:34時間の単一回転期間の結果を報告していますが、図1は期間の範囲にわたる結果を示しています。
図S3では、6、8、10、15、および20個の回転楕円体を使用したCMS計算からの角運動量の確率密度を示しています。 スフェロイドの数を増やしても効果がないことがわかりました
観測された重力調和 J2、J4、および J6 と一致しながら、より大きな角運動量を生成するモデルを構築することができます。 パラメータ空間を縮小するために、図S2の4つの回転楕円体モデルのように赤道回転楕円体の半径を変化させるのではなく、半径の線形グリッド上に存在するように赤道回転楕円体の半径を制約しました。
2. 共鳴モデル
海王星との永年スピン軌道共鳴のダイナミクスの多くの側面をとらえる単純なモデルを構築します。 このモデルは、完全な数値シミュレーションの結果を解釈するために使用できます。 変化する軌道の場合、ダイナミクスは平均化された時間依存のハミルトニアン (8、10、42) によって記述されます。
H =−1/2Cωα(cosε)2/(1−e2)3/2 (S1)
ここで、ε はスピン軸と軌道の移動法線の間の角度、e は土星の軌道離心率です。 ハミルトニアンを慣性基準に対する方向を指定する正準座標で表現すると、運動方程式はハミルトンの方程式 (10, 42) になります。 運動方程式は数値的に積分されます。 タイタン(14)の長半径の進化にはレゾナンスロック式を採用。 軌道の永年進化は、モードの和として表すことができます (43)。 歳差運動周波数がモード周波数の 1 つと一致すると、共鳴が発生します。
式の重要な特徴。 (2) は、各衛星からの q への寄与 (J2 に追加される係数) が、衛星の質量と の 2 乗の積に比例することです。
惑星からの距離。 歳差運動定数へのタイタンの寄与は J2 からの寄与を支配し、この寄与はタイタンが外側に移動するにつれて増加します。 タイタンとイアペトゥスはどちらも土星から十分に離れているため、iL は無視できません。 歳差運動定数をパラメーターとして含むハミルトニアンの扱いは、遠くに衛星があると矛盾します (13)。 式。 (2) は、歳差運動定数への衛星の寄与が、ラプラス平面に対する衛星の傾斜角と傾斜角に依存することを示しています。 傾斜角が変化し、ラプラス平面に対する傾きも変化するため、実際には歳差運動定数が変化します (13)。 この矛盾は、完全な数値積分を使用して進化を主に調査することを選択した理由の 1 つです。 他の調査 (12, 13) では、他のすべての衛星をタイタンにまとめるなど、追加の近似が導入されています。 それにもかかわらず、共鳴モデルはダイナミクスの定性的な側面を捉えています。
3. 不安定なシステムの統合
共鳴的に不安定なシステムの統合には、接近した遭遇があるため、より小さなタイムステップが必要です。 15 で割ったかすかな距離にある衛星ペアの軌道周期に近い時間ステップを選択することで、遭遇を解決できます。この基準をシステムに適用して、0.0015 日 (または 2.16 分) の時間ステップを選択しました。 これは小さいですが、不安定なシステムの統合は 500 kyr 未満に及びます。 このステップサイズでは、遭遇中にエネルギーと角運動量が保存されることがわかります。 これらのシミュレーション終了時の角運動量の典型的な相対誤差は10の−11乗以下です。
4. 潮汐摩擦
潮汐摩擦がある場合、エネルギーは保存されなくなりますが、角運動量は保存されます。 のために
与えられた潮汐モデルで、速度 da/dt、(1/e)de/dt = κe、および (1/i)di/dt = κi を指定します。ここで、a、e、および i は長半径、離心率、および それぞれタイタンの軌道の赤道に対する傾き、κe と κi は離心率と傾きの時間スケールの逆数です。
ダンピング。 さらに、κa = (1/a)da/dt を定義します。
速度キックとして潮汐摩擦が組み込まれています。 キックの大きさは
⃗k = ta⃗v + tbr ̇(xˆ − (ṙ/v)vˆ) + tg(pˆ · vˆ)(xˆ × ⃗v) (S2)
ここで、x^ は相対ベクトル ⃗x の方向、v^ は相対速度 ⃗v の方向、p^ は惑星の極の方向です。 定数は、ta = α0 + e2α1、tb = β + 4e2α1、および tg = γ であり、e は軌道離心率です。 軌道傾斜角はラプラス平面に減衰します。 角運動量保存キックが回転に適用されます。 定数 α0、α1、β、および γ は、潮汐モデルによって異なります。
タイタンの急速な移動が観測されています (14)。 この急速な移動は、惑星の振動モードの進化速度が衛星の移動速度を制御するという、潮汐進化の共鳴ロック理論と一致しています (44)。 平衡潮汐の場合、潮汐ポテンシャルのいくつかの項が離心率の進化に寄与します (45)。 レゾナンス・ロッキング・タイドの場合、存在する項は 2200 項だけです。 この場合
α0 = κa/(2f) (S3)
α1 = (κe − (1/4)κa )/f (S4)
β = 2(κe − (1/4)κa ) (S5)
γ = 2(κi − (1/4)κa ) (S6)
ここで、f = a(2/r − 1/a)、r は距離、a は長半径です。 これらの用語は、離心率と傾斜角のごくわずかな進化を生み出し、タイタンの対応する時間スケールは 10 Gyr を超えます。 すべての実用的な目的のために、私たちが採用する潮汐摩擦の形式は、長半径の進化を単純に生み出します。
潮汐進化シミュレーションでは、タイタンに da/dt を指定しますが、簡単にするために、他の衛星の潮汐進化は無視します。 タイタンの潮汐進化の測定速度は 11 ± 2 cm yr−1 (無線追跡)です。 および 25.3 ± 20.9 cm yr−1 (アストロメトリー) (14)。 7.33 cm yr-1、10.00 cm yr-1、12.22 cm yr-1、13.75 cm yr-1、15.71 cm yr-1、および 22.00 cm yr-1 の速度を調査しました。
また、衛星の潮汐による離心率と傾斜減衰も無視しました。 いくつかのシミュレーションでは、タイタンの離心率と傾斜角が現在の値よりも大きくなっています。 励起後の約150 Myrを超える衛星潮汐により、 e と i の両方に適度な減衰が発生すると予想されます。 偏心減衰は、タイタンの k2/Q に依存します。 測定された潜在的ラブ数 k2 は約 0.6 ですが、散逸パラメータ Q の下限のみが利用可能です (46)。 約 60 の Q は、タイタンの離心率を 150 Myr 以上で 2 倍減衰させるのに十分です。 傾斜減衰は、おそらく地下海の斜潮によって支配されて程度の減衰が発生するのに十分な短さです。
図1S
重力モーメント Jn 対高調波次数。 回転差のある内部モデルは、J12 までの観測されたモーメントを誤差内に収めます。 すべてのモーメントは、回転パラメーター qrot = ω2Re3/GM の累乗でスケーリングされています。 (18) を参照してください。 J2 と J4 を均一な回転で一致させるモデル (青色の破線と青いボックス)、J2、J4、および J6 を均一な回転で一致させるモデル (青い三角形と青い一点鎖線の曲線)、 J2 − J12 を微分回転 (黄色い菱形のある黒い破線) と、カッシーニの測定値とエラー (赤い円のある赤い曲線) と一致させます。 差動回転の効果は、薄い赤でシェーディングされています。
図5S
時間の関数としてのクリサリスの離心率。 タイタンが外側に潮汐移動するときに、システムが 3:1 のタイタン - クリサリス共鳴に遭遇するシミュレーション。 クリサリスの軌道は混沌とし、離心率は急速に他の衛星と遭遇できるほど大きくなります。 このシミュレーションにはヒペリオンが含まれていました。