【数学】世界に1つだけの三角形の組－抽象現代数学を駆使して素朴な定理の証明に成功　慶応大学

☆ ガン細胞たちは、ブドウ糖だけ、を、

唯一の、主な、栄養分としてあり、

糖質を制限する事を含む、

ビタミン・ケトン療法は、

ガン細胞たちを兵糧攻めにする事でも、

ガン、の、あり得る度合を減らす事になる。

Cancer cells are only glucose,

only, as main, nutrients, including limiting carbohydrates,

vitamin / ketone therapy

can also be used to attack cancer cells as a weapon,

It will reduce the possibility.

タンパク質たち、と、ビタミンら、に、

ミネラルら、を、完全以上に、

飲み食いなどして、摂取し続ける、

事が、

一部の人々を除いた、

ほとんどの人々の健康性を成し続ける、

代謝ら、を、完全以上に、

成し続ける事に、必要であり、

これら、を、より、欠いてしまう事は、

万病を引き起こす、可能的な度合いら、を、

より、余計に、成す事を意味する。

慶應義塾大学大学院理工学研究科 KiPAS 数論幾何グループの、平川義之輔氏（博士課程３年）、と、松村英樹氏（博課２年）、は、

『辺の長さが、全てが、整数、となる、直角三角形、と、二等辺三角形、との組たちの中には、周の長さも面積も、共に等しい組が、（相似を除いて）、たった、 1 組しかない』、

という、これまでには、知られていなかった、定理の証明に成功した。

線の長さ、や、図形の面積は、私たちの身の回りにある、ものを測量する際に、欠かせない、基本的な「幾何学」的対象です。

例えば、辺の長さが、 3、4、5 、の、直角三角形は、教科書でも、おなじみの図形ですが、

辺たちの長さが、全てが、「整数」、となる、直角三角形、は、どの位があるのか？、という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた、重要な問題で、この流れを汲んで、 20 世紀に、大きく発展した、現代数学の一分野が、「数論幾何学」です。

本研究では、数論幾何学における、「 p 進 Abel 積分論」、と、「有理点の降下法」、を応用することで、冒頭の定理への証明に成功した。

高度に抽象化された、現代数学において、この様に、身近な応用例が得られる事は、非常に珍しく、貴重な研究成果と言えます。

本研究成果は、学術論文、な、「 A unique pair of triangles 」、として、米国の整数論専門誌な、「Journalof Number Theory」に掲載されることが、決まっています

（すでに、2018 年 8 月 24 日に、 article in press として、電子版が出版された）。

　
１．本研究のポイント

・辺たちの長さが、全てが、整数となる、三角形は、古代ギリシャ時代からの研究対象だったが、本研究では、新たな定理への、発見、証明に成功した。

・定理の見た目が、初等的であるにも関わらずに、その証明には、 20 世紀の末に開発された、比ぶるに新しい、数論幾何学の手法が用いられた。

２．研究背景 ;
線の長さ、や、図形の面積は、私たちの身の回りにある、ものを測量する際に、欠かせない、基本的な、幾何学的対象です。

『辺たちの長さ、が、全てが、整数となる、直角三角形は、どの位にあるか？』、という問題は、古代ギリシャ時代に、研究がなされた重要な問題でした。

同様に、『辺の長さが、全てが、整数となる、直角三角形の組たちの中には、周の長さも面積も、共に、等しい、組が、どの位にあるか？』、という問題なども、おそらく、研究されていた、と、思われます。

これらな問題らは、その全てが、『種数０、の、代数曲線上の、有理点の集合の決定』

（ >>1、2 ）、という問題に、言い換えることができ、

有理一意化、と呼ばれる、手法により、解けることが、少なくとも、座標幾何学が誕生した、 17 世紀には、知られていました。

ところが、 Fermat 方程式 x^n ＋ y^n ＝ 1

のように、

『種数が、 1 以上の、代数曲線上の、有理点の集合の決定』、に帰着される問題には、現代でも、統一的な解法が知られておりません。

このような難問の解決に動機付けられて、20 世紀に大きく発展した、現代数学らの一分野が、「数論幾何学」、です。

＜原論文情報＞
Yoshinosuke Hirakawa and Hideki Matsumura, A unique pair of triangles, Journal of NumberTheory, published online
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X18302269.
doi:10.1016/j.jnt.2018.07.007
https://research-er.jp/articles/view/73675
続く）

引用元：http://anago.2ch.sc/test/read.cgi/scienceplus/1536986429/

2: ＼(^o^)／ 2018/09/15(土) 13:40:45.92 ID:CAP_USER

続き）>>1
以下が、その「たった 1 組」しかない、三角形らの組です。

証明の過程では、

まず、問題となる、三角形らの組を、種数、が、２、の、代数曲線で、パラメタ付けすることで、

元の問題を、

『特殊な、種数、が、２、の、代数曲線上の、有理点たちの集合の決定』、という、

別の問題に帰着しました。

このような、代数曲線上には、有理点、が、有限個しかない、ことが、知られていますが、

有理点たちの集合を完全に決定するためには、さらに高度な技術が、必要になります。

そこで、本研究では、

p 進 Abel 積分論、に基づいた、 Chabauty-Coleman 法、と、呼ばれる、解析的な手法を用いることで、

上記の代数曲線上には、有理点、が、 10 個しかない、ことを証明しました。

こうして得られた、 10 個の有理点たちのうちの、 8 個は、

「辺たちの長さらが、０、または、負となる、潰れた、三角形たちの組」、に対応してしまい、残りの、２個が、共に上図の三角形の組に対応します。

一方で、 Chabauty-Coleman 法を実行する際の、主な問題点は、代数曲線の、 Mordell-Weil rank

（ >>3 、と呼ばれる量が、種数よりも、小さくなければ、ならない、というものです。本研究では、 2-降下法（ >>4 、と呼ばれる、コホモロジカルな手法により、 Mordell-Weil rank 、が、１、である、ことを証明することで、この問題点を克服しました。

本研究で解決した、問題、の、そのものは、古代ギリシャ時代にも、考察されていたのではないか、と思われますが、

その解決に用いられた、 Chabauty-Coleman 法と、 2-降下法は共に、 1980 年代以降に開発された、比較的新しい手法です。

このような素朴な問題と、洗練された解決手法の対比、そして、時代の大きな隔たりを伴う、研究成果は、現代数学の美しさを引き立てる、貴重な成果である、と、言えます。

【数学】世界に1つだけの三角形の組 －抽象現代数学を駆使して素朴な定理の証明に成功 慶応大学

【数学】世界に1つだけの三角形の組－抽象現代数学を駆使して素朴な定理の証明に成功　慶応大学