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中学受験を経験したパパが、
小学校、の、 算数を子ども達に教えたいパパ&ママ向けに、
算数のヒントを解説♪
パパが教える算数教室 » 数と式 » 数の性質 »
知ってましたか?
11の倍数の見つけ方♪ 見分け方♪
- Tagged: 基礎 続き
例題
175428 は、 11の倍数ですか?
今回は、倍数の見分け方
2桁の 11の倍数の見分け方です。
11の倍数の見つけ方
11の倍数の見つけ方
各位を一つ飛ばしに足した、
”和”の”差”が、 11の倍数、 もしくは、
0であれば、 その数は、
11の倍数である。
例題の解答
175428 、 を計算してみましょう。
一つ飛ばしに、 色を塗り分けてみますと175428 。
そして、 それぞれの、 和を計算します。
赤の和 1 + 5 + 2 = 8
青の和 7 + 4 + 8 = 19
19 – 8 = 11
11 は、 11の倍数ですので 、
175428 は 、 11の倍数です。
なぜ、 そうなるのか??
1. 数字を abcdef だとします。
※ 数学的に、 (abc) 、 と書くと、
a × b × c の事を意味しますが、
今回は、 便宜的に、
a百 b十c 、 の事を表します。
<例> a=5, b=7, c=4 の場合
(abc) は、 574 、 すなわち、
五百七十四 、 を表します。)
2. abcdef =
a × 100000 + b × 10000 + c × 1000
+ d × 100 + e × 10 + f
= a × ( 100001 – 1 )
+ b × ( 9999 + 1 ) + c × ( 1001 – 1 )
+ d × ( 99 + 1 ) + e × ( 11 – 1 ) + f
= a × 100001 – a + b × 9999
+ b + c × 1001 – c
+ d × 99 + d + e × 11 – e + f
= 11 × ( a × 9091 + b × 909
+ c × 91 + d × 9 + e ) – a + b – c + d
– e + f
= 11 ×
( a × 9091 + b × 909 + c × 91 + d × 9 + e ) + ( b + d + f ) – ( a + c + e )
3. 2.の式の 下線部は、
11の倍数 である。
よって、残りの ( b + d + f ) と
( a + c + e )の差 が 、 11の倍数であれば、 abcdef は、 11の倍数である。
※ ( a + c + e ) が ( b + d + f ) より 、
大きくなった場合でも成り立ちます。
11の倍数の見つけ方のポイント
2桁目 は、 10 + 1 = 11 に注目する。
3桁目 は、 100 – 1 = 99 = 9 x 11 に注目する。
4桁目 は、 1000 + 1 = 1001 = 91 x 11
に注目する。
5桁目 は、 10000 – 1 = 9999 = 909 x 11 に注目する。
つまり、
偶数桁目 では、 +1 する。
奇数桁目 では 、 -1 する。
ことによって、
11の倍数を作ることが出来ます。
正直、小学生が、 一人で、 この法則を見つけるのは、 難しいと思います…。
というか、私も、小学生時代、
塾の先生に教えてもらうまでは、
気づきませんでした。
121 とか、484とか、3桁で 、
差が、 0 となる!! 、 という部分までは、 自力で気づいたんですけど…
中学受験においても、ズバリ、
「 ○○○は、 11の倍数ですか? 」
、なんて、 問題は、 でないと思いますし、
11の倍数かどうかを考える機会も、
ほとんど無いか、 と思います。
「 じゃぁ、 なんで、
こんな法則を紹介しているの?? 」 、
と、 鋭い突っ込みが入ってきそうですが…(汗)
それは、 3桁における、 11の倍数の法則を、なんとなぁ～く
( 厳密ではなく ) 、
子どもたちに見つけて欲しいからです。
子どもたちが、 法則を見つけたら、
上に示した一般論を教えてあげてください。 より理解が深まると思います。
※ ちなみに、 3桁の11の倍数を何個か書いておきますと…
121 , 242 , 737 … ねっ!! なんとなぁ～く、 法則がありそうでしょ(笑)
中学受験を経験したパパが、
小学校、の、 算数を子ども達に教えたいパパ&ママ向けに、
算数のヒントを解説♪
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知ってましたか?
11の倍数の見つけ方♪ 見分け方♪
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例題
175428 は、 11の倍数ですか?
今回は、倍数の見分け方
2桁の 11の倍数の見分け方です。
11の倍数の見つけ方
11の倍数の見つけ方
各位を一つ飛ばしに足した、
”和”の”差”が、 11の倍数、 もしくは、
0であれば、 その数は、
11の倍数である。
例題の解答
175428 、 を計算してみましょう。
一つ飛ばしに、 色を塗り分けてみますと175428 。
そして、 それぞれの、 和を計算します。
赤の和 1 + 5 + 2 = 8
青の和 7 + 4 + 8 = 19
19 – 8 = 11
11 は、 11の倍数ですので 、
175428 は 、 11の倍数です。
なぜ、 そうなるのか??
1. 数字を abcdef だとします。
※ 数学的に、 (abc) 、 と書くと、
a × b × c の事を意味しますが、
今回は、 便宜的に、
a百 b十c 、 の事を表します。
<例> a=5, b=7, c=4 の場合
(abc) は、 574 、 すなわち、
五百七十四 、 を表します。)
2. abcdef =
a × 100000 + b × 10000 + c × 1000
+ d × 100 + e × 10 + f
= a × ( 100001 – 1 )
+ b × ( 9999 + 1 ) + c × ( 1001 – 1 )
+ d × ( 99 + 1 ) + e × ( 11 – 1 ) + f
= a × 100001 – a + b × 9999
+ b + c × 1001 – c
+ d × 99 + d + e × 11 – e + f
= 11 × ( a × 9091 + b × 909
+ c × 91 + d × 9 + e ) – a + b – c + d
– e + f
= 11 ×
( a × 9091 + b × 909 + c × 91 + d × 9 + e ) + ( b + d + f ) – ( a + c + e )
3. 2.の式の 下線部は、
11の倍数 である。
よって、残りの ( b + d + f ) と
( a + c + e )の差 が 、 11の倍数であれば、 abcdef は、 11の倍数である。
※ ( a + c + e ) が ( b + d + f ) より 、
大きくなった場合でも成り立ちます。
11の倍数の見つけ方のポイント
2桁目 は、 10 + 1 = 11 に注目する。
3桁目 は、 100 – 1 = 99 = 9 x 11 に注目する。
4桁目 は、 1000 + 1 = 1001 = 91 x 11
に注目する。
5桁目 は、 10000 – 1 = 9999 = 909 x 11 に注目する。
つまり、
偶数桁目 では、 +1 する。
奇数桁目 では 、 -1 する。
ことによって、
11の倍数を作ることが出来ます。
正直、小学生が、 一人で、 この法則を見つけるのは、 難しいと思います…。
というか、私も、小学生時代、
塾の先生に教えてもらうまでは、
気づきませんでした。
121 とか、484とか、3桁で 、
差が、 0 となる!! 、 という部分までは、 自力で気づいたんですけど…
中学受験においても、ズバリ、
「 ○○○は、 11の倍数ですか? 」
、なんて、 問題は、 でないと思いますし、
11の倍数かどうかを考える機会も、
ほとんど無いか、 と思います。
「 じゃぁ、 なんで、
こんな法則を紹介しているの?? 」 、
と、 鋭い突っ込みが入ってきそうですが…(汗)
それは、 3桁における、 11の倍数の法則を、なんとなぁ～く
( 厳密ではなく ) 、
子どもたちに見つけて欲しいからです。
子どもたちが、 法則を見つけたら、
上に示した一般論を教えてあげてください。 より理解が深まると思います。
※ ちなみに、 3桁の11の倍数を何個か書いておきますと…
121 , 242 , 737 … ねっ!! なんとなぁ～く、 法則がありそうでしょ(笑)