前回に引き続き、確率のお話です。
先週の最後に出題したお題は考えてもらえたでしょうか？

問題
コイントスで表（オモテ）が出たら1ポイントもらえ、裏が出たらポイントなし、というゲームを何回かやります。やった回数の半分以上のポイントを獲得できたら、賞金100万円をゲットできます。ちなみにゲーム回数はあなたが自由に決めてよいものとします。
例えば、10ゲーム行うと決めたら、コイントス10回中5回以上オモテを出したらチャレンジ成功で100万円ゲット。15ゲーム行うと決めた場合は、コイントス15回中8回以上オモテを出したらやはりチャレンジ成功で賞金はあなたのものです。
では、ゲーム回数を何回に設定したときが、もっとも賞金をゲット出来る可能性が高くなるでしょうか？（コインの表裏は、ともに2分の1の確率で出るものとします）

こういう類の問いは、まず具体的に手を動かしてみることが肝心です。
例えば１回のとき、２回のとき、３回のとき…というように書き出していき、その過程や結果から法則性を見出していくのがよいでしょう。

では実際にやってみます。コイントスのゲーム回数をｎとします。

ｎ＝１のとき、この１回で表を出さなければならないので、その確率はです。

ｎ＝２のとき、このあたりからしっかり整理の仕方を決めて数えます。
今回は考えられる場合の数を、オモテ（○と表記、ウラは×と表記）の数ごとに整理します。

オモテが０回のとき、××：１通り
オモテが１回のとき、○×，×○：２通り
オモテが２回のとき、○○：１通り
等しく起こりうる４通りの可能性のうち、賞金を得られるのは３通りなので、確率はです。思ったよりも高い確率ですね。

次は同様にｎ＝３のときを考えましょう。

オモテが０回のとき、×××：１通り
オモテが１回のとき、○××，×○×，××○：３通り
オモテが２回のとき、×○○，○×○，○○×：３通り
オモテが３回のとき、○○○：１通り
このようになり、賞金を得られるのはオモテが２回以上出たときなので、確率はとなります。

ここまでの解説で全貌が見えた人は、かなりのツワモノです。
とりあえず、あとｎ＝４のときとｎ＝５のときを見てみましょう。

ｎ＝４のとき、
オモテが０回のとき、××××：１通り
オモテが１回のとき、○×××など：４通り
オモテが２回のとき、○○××など：６通り
オモテが３回のとき、○○○×など：４通り
オモテが４回のとき、○○○○：１通り

まず、このときを例に分析してみましょう。
なんとなく気付いていたと思いますが、ｎが偶数のときは分類の種類が奇数個になります（上記のようにｎ＝４ならオモテが０～４まで考えられるから）。

さらに、真ん中（上の例ではオモテが２回のとき）を境にして、考えられる場合の数は上下対称（14641という並び）になっています。

これは当たり前と言えば当たり前です。なぜなら、例えば「４回中オモテが１回出る」というのは「４回中ウラが１回出るのと同じ数、すなわち４回中オモテが３回出るのと同じ数」だからです。

そうすると、ど真ん中の「オモテが２回のとき」も含めて下半分が賞金をゲットできるパターンになるので、ｎが偶数回のときには確率はを若干上回ります。
そして、そのど真ん中の場合が全体に占める割合が最も大きいケースがｎ＝２のときになるのです。

最後にｎ＝５のときを見てみましょう。

オモテが０回のとき、×××××：１通り
オモテが１回のとき、○××××など：５通り
オモテが２回のとき、○○×××など：１０通り
オモテが３回のとき、○○○××など：１０通り
オモテが４回のとき、○○○○×：５通り
オモテが５回のとき、○○○○○：１通り

そうです、ｎが奇数のときには分類の種類が偶数個になり、また上下対称の場合の数になることはこれまでと同じです。
そうすると、完全に下半分が賞金ゲットの対象（この場合オモテが３回以上）になるため、ｎが奇数のときには必ず確率はとなります。

まとめ
ゲーム回数が奇数回の場合、賞金獲得確率は一律である。
ゲーム回数が偶数回の場合、賞金獲得確率は必ずを上回るが、その中でも最も確率が高いのは、ｎ＝２のときのである。

実は、私は周囲の人にこの問いを投げかけ、直感的に答えてもらったのですが、多くの人が１０～１００回など多めの回数を選択しました。

あまりにもゲーム回数が少ないと、最初にウラを多く出してしまった場合に後で挽回しにくいから…と考えたようです。気持ちはわかりますね。
しかし、計算した結果は、皮肉にも回数の少ない「２回」ということになりました。

ちなみに、このブログを読んでくれている読者の一人であるＫ田さんは、いち早く「この問いの本質はパスカルの三角形だ」と気付いてくれていました。
上下対称の数の配置「1,2,1」「1,3,3,1」「1,4,6,4,1」「1,5,10,10,5,1」…のことです。
これはという式を展開したときに表れる係数の法則です。
興味がある人は、ぜひ調べてみて下さい。

あ、それから、前回お話した「サイコロ、おみくじ」の確率が63％ぐらいになるという件ですが、これは高校で学ぶ自然対数（ｅと表す）と関係があります。極限をとって考えてみると面白いですよ。

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現代の荒波を生き抜くための確率②[水曜日担当：池村]