夏休みの自由課題４： 連分数
定義：実数w(>0)を超えない最大整数をa0とする。
w=a0+1/w1, と書く。
w1が整数でなければ、w1を超えない最大整数をa1として、
w1=a1+1/w2,
以下、同様にして、整数列{a0,a1,a2,...,an},wnを得る。
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上記の操作を逆にすれば、元の実数wを得る。
操作数nが十分大きいとき、wn=0としても、ほとんど同じwを得る。
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物理学的に見れば、実数を整数列のスペクトルで眺める様なものです。
では実際にやって見ましょう。
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無理数の連分数展開（20項まで）
1. 代数解
√2=1.414213562373095
={1 2 2 2 2 2 2 2 2 2; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2}
√3=1.732050807568877, 4n-1
={1 1 2 1 2 1 2 1 2 1; 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1}
√5= 2.236067977499790, 4n+1, 6n-1
={2 4 4 4 4 4 4 4 4 4; 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4}
√163=12.76714533480370, 4n+3, 6n+1
={12 1 3 3 2 1 1 7 1 11; 1 7 1 1 2 3 3 1 17 3}
2. 超越数
e=2.718281828459045
={2 1 2 1 1 4 1 1 6 1; 1 8 1 1 10 1 1 12 1 1}
π=3.141592653589793
={3 7 15 1 292 1 1 1 2 1; 3 1 14 3 3 23 1 1 7 4}
ζ(3)=1.20205690316
={1 4 1 18 1 1 1 4 1 9; 9 2 1 1 3 1 1 11 1 2}
Mill's const.=1.30637788386308069047
={1 3 3 1 3 1 2 1 2 1; 4 2 35 21 1 4 3 2 6 5}
3. 級数値 10項まで
素数2乗の逆数の級数値=0.45224741897
={0 2 4 1 2 1 3 1 1 34}
4. 連分数展開で表現される数
{1 1 1 1 1 1 1 1 1 1; 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1}
=1.6180339985=(1+√5)/2=黄金比
{1 2 3 4 5 6 7 8 9; 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20}
=1.4331274267
{1 1 2 1 1 4 1 1 6 1; 1 8 1 1 10 1 1 12 1 1}
=1.718281828459045=e-1
{1 1 2 1 1 3 1 1 4 1; 1 5 1 1 6 1 1 7 1 1}
=1.7192379286=e-0.999044
{1 1 2 1 1 3 1 1 5 1; 1 7 1 1 11 1 1 13 1 1}
=1.7192477272=e-0.999034
{2 3 5 7 11 13 19 23..... 67}={素数列}
=2.3130367364=Mill's const. -1.0067