楕円軌道

d^２(1/r)/dΘ²+ 1/r = GM/C² (12)

綺麗な式だ。

太陽を回る惑星は、面積速度一定で(12)式で表現できる軌道をくるくる回る。

質量Mの太陽と万有引力Ｇ の下、太陽系ができた時、あるエネルギーを持って

系に組み込まれ回っている。遠心力と万有引力とが釣り合っている。金星も土星も同様だエネルギーが違うのみである。されば、式(12)の形は楕円軌道だ。

1/rを　V　と置くと、(12)は次のように書ける。

　　d²V/dΘ² + V = GM/C²

V = V₁ + V₂ と置き、

　　d²V_１/dΘ² + V_１ = ０　　　　　　　　　　　　　(13)

　　d²V_２/dΘ² + V_２２= GM/C² (14)

　　となるようにＶ_１，Ｖ_２を設定すると、

式(13)より、

　　V₁ = αcos(Θ-Θ₀) ただしα≠0

V₂ = GM/C² は(14)を満たすので、

　　V =1/r　=αcos(Θ-Θ₀)+ β (β=ＧＭ/C² と置いた。) (15)

簡単のために、Θ₀　= 0 としよう。

X = rcosΘ

Y = rsinΘ

から、

1 =αrcosΘ+ rβ =αX+ rβ =αX+β(X²+Y²)^1/2

1- αX = β(X²+Y²)^1/2 →　(1-αX)² =β²(X²+Y²)

1-2αX +α²X² =β²X²+β²Y²

さらに、上式は

(β²-α²)X² +2αX+β²Y² =1

(β²-α²)[ X²+ 2αＸ/(β²-α²)+α²/(β²-α²)² ]+ β²Y²=α²/(β²-α²)²]+1

(β²-α²) [X +α/(β²-α²)]² +β²Y² =β²/(β²-α²)

[(β²-α²)²/β²] [X +α/(β²-α²)]²+Y²/[1/(β²-α²)²] = 1

すなわち

[X +α/(β²-α²)]²/[β/(β²-α²)]²+Y²/[1/(β²-α²)²] = 1 (16)

-4-

よく見ると楕円の式だ。

面積速度一定で太陽を一つの焦点とする楕円軌道を回る地球の姿が見えてきた。

ここまできて、太陽系の惑星のもう一つの姿が見えてきた。

それは、太陽系ができた時、水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星、冥王星、その他が、ケプラーの法則に従って楕円軌道を回っている。

良い機会と調べたら、太陽系はその質量が、太陽2x10³⁰kg,地球6x10²⁴kg,木星2x10²⁷kgと、木星は地球の300倍も重い。こんなに大きさの異なる惑星が太陽の周りをまわり、お互いの軌道を侵害せず100億年以上も回っているのは不思議なことだと思う。

　同じような構造がミクロの世界にも存在する。原子の世界だ、ことのついでに量子力学を思い起こそうと決めた。皆さんも付き合ってほしい。

　　

(2013-8-9 Yoshi)