ケプラーの法則というのは次のようなものだ。
第一法則：惑星は、太陽をひとつの焦点とする楕円軌道を動く
第二法則：惑星と太陽とを結ぶ線分が単位時間に動く面積は一定である。
第三法則：惑星の公転周期の2乗は、軌道の長半径の３乗に比例する。
ニュートンの万有引力の法則を使って地球の軌道を求めるとケプラーの法則が導かれるはずだ。
F = GMm/r2
となります。
引力のX成分、Y成分はそれぞれ
ＦＸ = m(d2X/dt2) = -GMm/r2cosΘ
ＦＹ = m(d2Ｙ/dt2) = -GMm/r2sinΘ
つまり、
d2X/dt2 = -GM/r2cosΘ (1)
d2Ｙ/dt2 = -GM/r2sinΘ (2)
となる
ところで、
X = r cosΘ
Y = r sinΘ
だから、これを時間tで微分すると
dX/dt = (dr/dt) cosΘ-r(dΘ/dt) sinΘ
dY/dt = (dr/dt) sinΘ+r(dΘ/dt) cosΘ
これをもう一度tで微分すると、
dX/dt = (dr/dt) cosΘ-r(dΘ/dt) sinΘ
d2X/dt2 =d[dX/dt]/dt = d[(dr/dt) cosΘ-r(dΘ/dt) sinΘ]/dt
=d2r/dt2cosΘ-2 (dｒ/dt) (dΘ/dt)sinΘ-r(d2Θ/dΘ2) sinΘ+
r(dΘ/dt)2cosΘ
=[d2r/dt2+ r(dΘ/dt)2] cosΘ-[2(dｒ/dt) (dΘ/dt)+r(d2Θ/dt2)]sinΘ (3)
ｄ２Y/dt２ ==[d2r/dt2+ r(dΘ/dt)2] sinΘ-[2(dｒ/dt) (dΘ/dt)+
r(d2Θ/dt2)]cosΘ (4)
(1) と(3),(2)と(4)より、
d2X/dt2 = -GM/r2cosΘ (5)
=[d2r/dt2- r(dΘ/dt)2] cosΘ-[2(dｒ/dt) (dΘ/dt)+r(d2Θ/dt2)]sinΘ
d2Ｙ/dt2 = -GM/r2sinΘ (6)
=[d2r/dt2- r(dΘ/dt)2] sinΘ+[2(dｒ/dt) (dΘ/dt)+r(d2Θ/dt2)]cosΘ
(5)xcosΘ+(6)xsinΘより;
-GM/r2(cos２Θ+ sin２Θ)= -GM/r2
= d2r/dt2- r(dΘ/dt)2 (7)
(5)xcosΘ-(6)xsinΘより;
0 = 2(dｒ/dt) (dΘ/dt)+r(d2Θ/dt2) (8)
(8)式の両辺に ｒを掛けると、
0 = 2ｒ(dｒ/dt) (dΘ/dt)+r２(d2Θ/dt2) =( dr2/dt )(dΘ/dt)+ r２(d2Θ/dt2)
=d[ｒ２（ｄΘ/dt）] /dt (9)
したがって
ｒ２（ｄΘ/dt）= C(定数) （10）
この式を良く見ると、
ｒｘｒｄΘ/dt = 一定、
すなわち、太陽と地球との間の距離rに、同じ距離に角速度ｒｄΘを掛けた面積速度が一定の値であることを示している。
次ページの図で示すと同じ時間に移動する面積AとBとが同じであることを示し
ている。
ケプラーの第二法則が証明された。
さらにもう一つ、以上の計算は何も地球に限った話ではない。太陽系の惑星の全てに当てはまるとしたら、楽しくなるではないか。話しをもうすこし進めよう。
d2r/dt2 = ｄ/ｄｔ(dr/dt) = (dΘ/dt)(d/dΘ)[(dr/dΘ)(dΘ/dt)]
=(C/r2)(d/dΘ)[(dr/dΘ)(C/r2)]
= -(C/r2)[d/dΘ(d(1/r)/dΘ・C)]
=-(C2/r2)d２(1/r)/dΘ2 (11)
したがって (7)式は
-GM/r2= d2r/dt2- r(dΘ/dt)2
= -(C2/r2)d２(1/r)/dΘ2-r(C/r2)2
整理すると
d2(1/r)/dΘ2 +1/r =ＧＭ/C2 (12)
となる。
綺麗な関数になった。(10)式で軌道を回る惑星の面積速度が一定であることが判り、(12)式を解くと軌道の形がわかる。回答は次回に回そう。
久々に微分方程式を解くのにずいぶん時間がかかったが、今でもちゃんとできてうれしいことだ、皆さんも解いてみてくれない。
(2013-8-6 Yoshi)
注） おさらい
関数ｆと関数gとを掛け合わせた関数fgの微分(fg)’はfの微分f’とgの微分g’から
次のように表現できる。
Δfg= f(x +Δｘ)g(x +Δｘ)-fg = f(x +Δｘ)[ g(x +Δｘ)-g] + g[f(x+Δｘ)-f]
= fΔg + gΔｆ