アイザック・ニュートン（1642-1727）はケプラー(1571-1630)の理論を証明するために微分・積分をまとめたとのことです。ケプラーの法則というのは次のようなものだ。
第一法則：惑星は、太陽をひとつの焦点とする楕円軌道を動く
第二法則：惑星と太陽とを結ぶ線分が単位時間に動く面積は一定である。
第三法則：惑星の公転周期の2乗は、軌道の長半径の３乗に比例する。
ニュートンの運動方程式と言うのがある。次の式だ。
ｍa = m (d2r/dt2) = F
ちょっと説明しよう。
ｍ ：質点の質量
a ：質点の加速度
ｒ ：質点のベクトル
Ｆ ：質点にかかる力
ｔ ：時間 である。
この式は、別の言い方をすると、
質量ｍのボールをバットで打つと（力Ｆを加えると）
地上では（重力ｇが掛かっている）時間ｔ 後に初めの位置から ｒ 移動する
ことになる。
(d2r/dt2)は ｒ を時間で2回微分した。すなわち、d2r/dt2=d(dr/dt)/dt
を意味する。
横軸が時間（ｔ），縦軸が移動ベクトル（ｒ）で、下向きに重力(-g)が掛かっている。
最初(tO,rO)から、初速ｖ０で放出された。
以上を式で表現すると、
m (d2r/dt2)
= F = -g (1)
初期条件
dr/dt = vO at t
= 0
先に、グラフで広がる数学の世界のところで、線上の時間と速度の話しがでた。距離を時間で割ると速度だった。
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進んだ距離から、速度を求めたら微分という考えが浮かびあがった。
微分が先にあって、変化を元に戻すことを積分すると言う。
m (d2r/dt2)
= F = -g (1) を書きなおして、
(d2r/dt2) = F/m = -g/m 注 参照
積分すると、
dr/dt
= -g/m ｔ+ A t =0 の時 dr/dt = vOゆえ、A = vO
もう一度積分すると。
ｒ = -g/(2m)
ｔ2 + vOt + B
T = 0 の時 ｒ =は(tO,rO)となる。
ちょっと初めの位置が違うけれど下のような放物線になる。
次はケプラーの法則に挑戦しよう。
（2013-7-30 Yoshi）
注）おさらい
ｙ = aｘ2+bx
+c の時、dy/dxは Δｙ/Δxを作ってΔｘをゼロに近づける。
Δｙ = a(x +Δx)2 +b(x +Δx) +c – [aｘ2+bx +c]
= a(x2 +2xΔx +ΔxΔx) + b(x +Δx) +c –
[aｘ2+bx +c]
=2axΔx +aΔxΔx +bΔx
∴ Δｙ/Δx =2ax + b +Δx Δxをゼロにすると左の式は、dy/dx = 2ax +b となる。