世の中で起きることを図形にはめ込んだら世の中広くなるより狭くなるような気もするけれど、図に書くことで新しいことが判れば世の中広くなったといっても良いということにしよう。
上のグラフは時間(t)と距離(x)との関係を示すものだ。
時間tに点Aにあったものが、それから少し(Δt)後に点Bに移った。このグラフは横軸が時間(t)で縦軸が距離だ。A点の距離はxで、B点の距離はx+Δxだ。
ところで、速度はどうなるの、速度というには、距離を時間でわったものだから平均速度をｖとすると、
ｖ = Δｘ/Δｔ
だ。でもこれはΔｔ時間の平均値だ。
それはそれとして、上の ｖ は図形上でみると、距離・時間平面上で距離・時間曲線上の二点ABの傾きだと判る。でも平均値だ気に入らないという人にどう説明するかだ。Δt時間をドンドン近づけてゼロにしたらどうなる。
図を見ながら考えると、B点がA点に近づくと傾きを示す線はA点での接線になる。ある時間(t)の点の位置(x)を示す曲線の接線の傾きはその時間の点Aの移動速度ということだ。
v = dx/dt = lim(Δx/Δt)(Δｘ→0)
dx/dt は微係数(微分)である。
微係数を実際求めようと思うのだけれど、その前になぜ微係数が必要か一寸調べてみよう。
下の図で、曲線Bは冒頭で話した距離・時間曲線だ。曲線Aは曲線Bの微係数曲線で、この場合、一定値となっている。だとすると、曲線Ｃは何だ。曲線Cの微係数曲線がBとなるような曲線である。
曲線Ｃは２次関数とし、
x = at2+ bt +c
としよう。その時dx/dtを求めてみよう。
dx = lim Δｘ= [a(t+Δｔ)2+ b(t+Δｔ) +c]- [at2+
bt +c]
=
[a(t2+ 2tΔｔ+ΔｔΔｔ)+bt +bΔｔ +c]-
[at2+ bt +c]
= a(2tΔｔ+ΔｔΔｔ) +bΔｔ
従って、
Δｘ/Δｔ = 2at +b +aΔｔ
dx/dt = limΔｘ/Δｔ =
2at + b +a limΔｔ
dx/dt = 2at + b
となる。
もう一度微分すると
d(dx/dt)/dt = 2aとなる。
先のグラフで、
曲線Aは ｘ
= 2a
曲線Bは x = 2at + b
曲線Cは x = at2 + bt +
c
となる。
ところで、こんな計算を何に使うの?
最近の高層ビルにはエレベータがある。昔のエレベータは等速でゆっくり登って安心だった。
100階ともなると、そうも行かない。高層のエレベータは等加速度だそうだ。曲線Cで登る。
もう少し詳しくいうと、同じ加速度2aで登る。すると速度は2at+bとなり、時間とともに早くなり、登った距離はat2+ bt +c だ。役に立ったような気がするではないか。数学で遊ぼう。
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