三角関数

 

ずーっと昔、三角関数を習った。上の図だ。ある角度Θがあるとき、直角Cが有るのだが、実は a, b, c の比率(b/c, a/c, b/a)は三角形の大きさに関係なく、角度Θが決まれば一定だから、予め計算しておくと何かと便利だということが初めの印象だ。その後、色々な関係式を

学んだが、計算機が電卓に変わり、電卓の中に全ての表が入っているとなると、なんとなく忘れてしまった印象だが、その後ずーと前のしばらく後の、虚数が出てきた後に、三角関数が目の前に、大きな顔して再現した時の印象は強烈だった。
 

平面上に直行軸OX、OYをとり、直角座標がP（a、b）点を持って複素数ｚを表示するとすれば、複素数と平面上の全ての点とが１対１対応することになり、このような平面を数平面と言い、OXを実軸、OYを虚軸と言う。

ここで、竹内端三先生の助けをお願いしよう。指数関数と三角関数の関係についてだ。

今変数ノ値ガ複素数(z = x + yi)ナル場合ニ、指数関数 e^xノ展開ハ

e^x = 1 + x + ( x²/2!) + ….+ ( xⁿ/n!) + …

今変数ガ複素数(z = x + yi)　ニツイテ成立シ、x = 0ノ時、上ノ式ハ、

 e^yi = 1 + yi - ( y²/2!) + i( y³/3!) -( y⁴/4!) +i( y⁵/5!) +….+ ( xⁿ/n!) + …

  = [1 - ( y²/2!) +( y⁴/4!) - …]+i [y - ( y³/3!) -( y⁴/4!) +( y⁵/5!) +….]

 = cos y + i sin y

トナル。

 不思議な数字eを介して、三角関数と指数関数が数平面上で結びついた。

数平面上の点Aの偏角αとし、線分OA= rとすると、点A（a₁,b₁）とし、

a₁ + b₁i = r(cosα+ isinα)　

上式を複素数の極形式という。

A = r(cosα+isinα) とし、B = r(cosαβ+isinβ)

とすれば、

AB = r(cosα+isinα) r(cosβ+isinβ)= r²[cos(α+β) + isin(α+β))]

となる。

ここまで来ると、三角関数が今までとすっかり変わってくる。すっきりする。

ちょっと整理しなおしてみよう。

z = x + iy

e^z = e^{x + iy} = e^x(cos y + i sin y)

e^ix = cos x + i sin x   この式をEulerの関係式という。

e^-ix = cos x - i sin x

上の式より、

cos x = (e^ix + e^-ix) /2

sin x = (e^ix+- e^-ix) /2i

となる。　

（2013-4-8 Yoshi）