ファイ(Φ)黄金分割

数学で遊ぶとき、大事な数がいくつかある。e,,π、∞、iなど。まずはﾌｧｲから始めよう。

カッティングボードにA4の紙のサイズが示されている。縦：29.7cm、横：21.0cm、ハガキ、B5,B4のサイズも出ている。其々の対角線が概ね重なっている。

念のため、A4で、縦横の比率を調べると、29.4/21.0= 1.412857だ。

どこかで見た数字だ。 ルート2 =1.41421356だ。 

A4の紙を真ん中で２つにおると、A5になる。

　A4の短い方を１とし、長い方をXとする。そうすると、A5では、短い方が　1/2 Xとなり、長い方は１だから、A4とA5とが相似形だとすると、

Ｘ　：　１　＝　１　：　1/2 X

となる。上の式を解いて　Ｘ　を求めると　

　1/2 X² = 1  ∴　X² = 2     X =  ルート2 =1.41421356  だ。

アメリカの紙は一寸違うようだが、日本の用紙は、Ａ系列もＢ系列も、半分に折っても、折っても縦横の比率は変わらない。一番落ち着く、（見易い）形は折っても折っても比率がおなじ、この形、ハガキだってこの比率だ。

ところで、今日話題のファイ（Φ）は、ちょっと違う。黄金分割だ。

五角形の角頂点から対角線を引くと、対角線どうしが、黄金比で交わるというのだ。

上の図で、AB : AC = AC : BC　であり、この比は、線分ABを中間点Ｃで分割し、しかもその比は、分割された２つの線分の比に同じ、しかも最も美しい配分だ。黄金分裂だというのである。

この関係を見つけたのはユークリッド(BC300頃)だと言う。

三角形の内角の和は、180°である。五角形には三角形が３つ入っているから、五角形の内角の和は、180°x 3 =540°である。５で割ると、108°である。

 見れば見るほど美しい。線分FEと、Aを頂点とする二等辺三角形の底辺DBとは、平行だから、角EFBと角FBDとは錯角であり、同じ角度だ。つまり、頂点Aに集まる３つの三角形のＡのところでの角度は、皆同じ、いずれも　108°/3 = 36°だ。
 

緑も、黄色も、赤も、相似形である。

 黄金比を求めてみよう。上記で、線分BCを1として、線分ACをＸとしよう。

　Ｘ　：　１　＝　Ｘ　＋　１　：Ｘ

Ｘ^２　= X + 1  →　 X² – X-1 = 0

 式を書きなおし、

 0 = X² – X-1 = X² – 2 x 1/2X + (1/2)² - 5/4 =(X -1/2)² -5/4

すなわち、

X = (1 +√５)/2である。　この値は　1.618033である。

さきのルート2 =1.41421356と少し異なる。
一番きれいなのは黄金分割、ルート2は二番目か
 

五角形を実際つくるのは簡単だ。色紙で帯を作る、上の写真のように結び
だんだん引っ張っていくと結び目に五角形ができる。
コーラを飲んでストローを伸ばすのが好きだ。

その後、小さい五角形を作る。
(013-2-1oshi)