面積の話をしよう

線が動くと面になる。その大きさを面積という。長方形の面積は縦ｘ横だ。

 

単位はあまり気にせず、7x 6 = 42としよう。昨夜から気にしてきたには三角形の面積だ。
 

上の図で、緑の面積は、数えてみれば判ることだが、4 x 6 = 24の半分で12だ。気にしたには黄色の面積だ。黄色と緑の合計なら、緑と同じで、10 x 6 = 60の半分で、30だ。三角形の帽子を横に曲げたような形はどうすればすっきり計算できるか。

 良く考えれば、難しくはない。黄色と緑の合計は上の計算で30だ。しれみると、黄色は30から12を引いて、18だ。これは、別の視点でみると、黄色の底辺と高さ、6 x 6 = 36の半分だ。

 左隣に、黄色に隠れて赤がある。赤と黄色の底辺は同じだから、黄色と赤の面積は同じだ。

 公式：三角形の面積　= 底辺　ｘ　高さ÷2

が出来た。

 公式を覚えるのではなく、その都度自分で作れば、試験の前に覚えることが無くなり、随分試験が楽になるよ。

ピタゴラスの定理というのがある。有名な定理だ。いろんな公式の元だ。

 

直角三角形の各辺を１辺とする正方形の面積に関するもので、上の図で、斜辺の上の正方形は、直角側の2辺の上の正方形の和に等しいというものだ。

大変きれいな公式だ。実は、この式の証明のために、わざわざ三角形の面積を持ちこんだ。上の図で。三角形ABEと三角形DBCとは合同(同じ形)だ、三角形ABEをBの周りに90°時計方向に回すと重なることが判るだろう。

 ところで、三角形DBCの面積は、底辺BDと高さABとを掛けたもの(つまり、右辺の一番小さい正方形)の半分で、これは下の正方形の面積のブルーの線の右側の半分と同じだから、

左右を合わせると上の二つの正方形の合計は下の正方形に等しくなる。この証明は大変きれいで大好きだ。

赤い線を補助線という。補助線がかければ証明は終わりだ。

もう一つ。
 

上の図も大変面白いと思わない?

 黄色い三角形の斜辺の上の緑の正方形は、直角側の赤い正方形の和に等しい。

(2013-2-5 Yoshi)