t'、相対論の中で固有時間は最短となります。この結果は相対性理論の結果と一致しています。
ロレンツ逆変換 t = (t' + vx' / c^2) / \sqrt{1 - v^2 / c^2} を用い、両辺を時間 t' で微分すると、次が得られます：
注意すべき点として、式中の x' は時間 t' に伴って変化しません。なぜなら、x' と t' の量はともに S' 系で観測されたものであり、S' 系において点 P は静止しているからです。
次に、ロレンツ正変換 t' = (t - vx / c^2) / \sqrt{1 - v^2 / c^2} を用い、両辺を時間 t で微分すると、次が得られます：
したがって、次が成り立ちます：
注意点として、この式における x は時間 t に伴って変化するため、\frac{dx}{dt} = v および \frac{d(vx/c^2)}{dt} = v^2/c^2 となります。これは、x と t の量がともに S 系で観測されたものであり、S 系において点 P は速度 v で運動しているためです。
この結果は上述のものと同一です。
新たな疑問：
空間上の点 P が y 軸方向に移動した距離は、S 系と S' 系で等しいのでしょうか？
これらすべては、特殊相対性理論における「列車とトンネル」の思考実験によって証明されています。
一つのトンネルがあり、その外側に列車が停車していると想定します。列車の高さとトンネルの天井の高さは等しいものとします。今、この列車を一定の速度でトンネル内へと進ませます。
解説のポイント
この文章では、**「どの系で物体（点P）が静止しているか」**によって微分の扱いが変わることを強調しています。
* S' 系から見た場合： 点 P は静止しているため、x' は定数として扱い、微分すると 0 になります。
* S 系から見た場合： 点 P は移動しているため、x は時間の関数となり、微分すると速度 v が出てきます。
この計算の結果、どちらの視点から計算しても最終的な時間の遅れの比率（ローレンツ因子 \gamma）は矛盾なく導かれることを示しています。