相対論では、ある出来事が起こったとき、観察者から見てその出来事が起こった場所に対して静止している、つまり、その出来事の開始時刻と終了時刻が同じ場所で測定される場合、この出来事が経験した時間の測定値は固有時間であり、すなわち上記の t' となります。相対論では、固有時間は最短の時間となります。この結果は相対論の結果と同じです。
私たちはローレンツ逆変換 t = (t' + vx'/c^2) / \sqrt{ (1 - v^2/c^2) } の両辺を時間 t' で微分すると、以下のようになります。
注意: 式中の x' は時間 t' とともに変化しません。なぜなら、x' と t' の量はすべて S' 系で観測されたものであり、S' 系では p は静止しているからです。
私たちはローレンツ正変換 t' = (t - vx/c^2) / \sqrt{ (1 - v^2/c^2) } の両辺を時間 t で微分すると、以下のようになります。
したがって、以下のようになります。
注意: 式中の x は時間 t とともに変化します。したがって、 dx/dt = v および d(vx/c^2)/dt = v^2/c^2 となります。