放物線と円の接触

放物線と円の接触について

①3点を通る円の極限

②n次の接触

③曲率が最大になる点（頂点）

の3つの観点で調べる。

放物線 $y=x^2$ を考え、点(0, 0)で接触する円について調べる。

①3点を通る円の極限

『本格数学練習帳２　メビウスの作った曲面』（D. フックス、S. タバチニコフ、岩波書店）の第10講のはじめの方の記述を参考に考える。

＜接触円について＞

平面上の曲線γを考える。γに点(x, y)∈γで接する円の中で、γに「最も接する」ものを「接触円」という。接触円は次のように構成することができる。曲線γを、tを用いてパラメータ表示する。γ上の点(x, y)を点γ(t)と表すことにして、曲線γ上の３点γ(t－ε), γ(t), γ(t＋ε)を通る円を考える。この円の、ε→0としたときの極限が点xにおける接触円である。

放物線 $y=x^2$ 上の３点 $(-t,t^2),(0,0),(t,t^2)$ を通る円を考える。半径を $r$ とすると、中心は $(0,r)$ で、

$\begin{align*}r^2=(t-0)^2+(t^2-r)^2\\r^2=t^2+t^4-2t^2r+r^2\\2t^2r=t^2+t^4\\r=\frac{1}{2}(1+t^2)\end{align*}$

ここで、 $t\rightarrow 0$ とすると、 $r\rightarrow\textstyle\frac{1}{2}$

よって、接触円は、中心 $(0,\textstyle\frac{1}{2})$ 、半径 $\textstyle\frac{1}{2}$ の円である。

②n次の接触

『岩波全書226　微分幾何学』（窪田忠彦、佐々木重夫、岩波書店）の第１章§３の記述を参考に考える。

＜n次の接触について＞

曲面F(x,y,z)=0と曲線x=f(s), y=g(s), z=h(s)を考える。曲線上の点を曲面の方程式の左辺に代入してできる、sの関数 $\varphi(s)=F(f(s),g(s),h(s))$ について、 $\varphi(s)=0,\varphi'(s)=0,\varphi''(s)=0,\cdots,\varphi^{(n)}(s)=0$ かつ $\varphi^{(n+1)}(s)\neq 0$ であるとき、曲線と曲面とはn次の接触（contact of the nth order）をするという。

※パラメータsは弧長である。またFに関する条件もあるがここでは省略する。

『微分幾何学』では、曲面と空間曲線を扱っているが、この記事では平面上の曲線と曲線について適用する。

放物線 $y=x^2$ と①で求めた円とが点(0, 0)において３次の接触をすることを確かめる。

$F(x,y)=x^2-y$

$\begin{align*}f(s)&=\textstyle\frac{1}{2}\cos 2s\\g(s)&=\textstyle\frac{1}{2}\sin 2s+\frac{1}{2}\end{align*}$

とする。円は弧長sがパラメータになるようにしている。このとき、

$\begin{align*}&\varphi(s)=\left(\frac{1}{2}\cos 2s\right)^2-\frac{1}{2}\sin 2s-\frac{1}{2}\\&\varphi\left(-\frac{\pi}{4}\right)=0\\&\varphi'(s)=-\cos 2s(\sin 2s+1)\\&\varphi'\left(-\frac{\pi}{4}\right)=0\\&\varphi''(s)=-2\cos 4s+2\sin 2s\\&\varphi''\left(-\frac{\pi}{4}\right)=0\\&\varphi'''(s)=8\sin4s+4\cos2s\\&\varphi'''\left(-\frac{\pi}{4}\right)=0\\&\varphi^{(4)}(s)=16\cos4s-8\sin2s\\&\varphi^{(4)}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\neq 0\end{align*}$

よって、３次の接触をする。

『メビウスの作った曲面』によると、接触円は曲線と３点接触をするとか、曲線に位数２の接し方をするという、とのことである。さらに、曲線の頂点で位数は通常よりも高くなり超接触をする、ということである。

位数とは接触の次数のことだろう。そうすると、確かに頂点で超接触している。

曲線どうしの場合、どちらをF(x,y,z)=0にして、どちらをパラメータ表示するか、ということが考えられるが、パラメータは弧長sを使わないといけない。放物線を弧長sでパラメータ表示するのは難しいので、放物線をF(x,y,z)=0で表し、円をパラメータ表示した。

③曲率が最大になる点（頂点）

＜曲率について＞

『曲線と曲面の微分幾何』（小林昭七、裳華房）第１章§２の記述を参考に考える。

曲率は

$\kappa(t)=\frac{\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}}{\{(\dot{x})^2+(\dot{y})^2\}^{\frac{3}{2}}}$

で計算できる。

放物線 $y=x^2$ を $x=t,y=t^2$ とパラメータ表示し、点(0, 0)における曲率を計算すると

$\kappa(t)=\frac{1\cdot2-0\cdot2t}{\{1^2+(2t)^2\}^{\frac{3}{2}}}=\frac{2}{(1+4t^2)^{\frac{3}{2}}}$

『メビウスの作った曲面』によると、曲率が最大や最小になるところを頂点という。

曲率はt=0のとき最大になるから、点(0, 0)が頂点となり、数学Ⅰで学習する放物線の頂点と一致し、つじつまが合う。また、このときの曲率はκ(0)＝2である。曲率の逆数が曲率半径だから、①で求めた円の半径が $\textstyle\frac{1}{2}$ であることともつじつまが合う。