調和平均の作り方と「相乗平均≧調和平均」の簡潔な証明 | Accademia Nuts

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調和平均の作り方と「相乗平均≧調和平均」の簡潔な証明

１．相加平均と相乗平均の大小関係

$a>0,~b>0$ 　のとき

$\frac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}$ 　が成り立つ。

等号成立は　 $a=b$ 　のときである。

【証明】

$\begin{align*} \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} &=\frac{(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}}{2}\\ &=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right){}^2}{2}\\ &\geqq 0 \end{align*}$

２．調和平均の定義と「新しい平均」の作り方

$a>0,~b>0$ 　のとき

$\dfrac{2ab}{a+b}$ 　を、a，ｂの調和平均という。

これは、逆数の平均の逆数である。

①逆数をとる→②平均をとる→③逆数をとる

$\begin{align*} \textcircled{1}&\quad\frac{1}{\,a\,},~\frac{1}{\,b\,}\\ \textcircled{2}&\quad\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}=\frac{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right )\times ab}{2\times ab}=\frac{a+b}{2ab}\\ \textcircled{3}&\quad\frac{2ab}{a+b} \end{align*}$

単に「逆数の平均」では、aとｂの平均とはいいがたい。

しかし、「２回逆数をとれば、（ある意味）もとに戻るだろ」

という発想を持てば、この平均を作ることができる。

もちろん、普通の平均（相加平均）と値は異なる。

数学者の間では、

①ある操作→②平均をとる→③ある操作の「逆」の操作

というプロセスでいろいろな「新しい平均」を作ることが

研究されてきた（らしい）。

実は、相乗平均も

①対数（log）をとる→②平均をとる→③対数をはずす

というプロセスで作られた平均だと考えることができる。

$\begin{align*} \textcircled{1}&\quad\log a,~\log b\\ \textcircled{2}&\quad\frac{\log a+\log b}{2}=\frac{1}{\,2\,}\log ab=\log (ab)^{\frac{1}{2}}=\log \sqrt{ab}\\ \textcircled{3}&\quad\sqrt{ab} \end{align*}$

３．相乗平均と調和平均の大小関係

$a>0,~b>0$ 　のとき

$\sqrt{ab}\geqq\frac{2ab}{a+b}$ 　が成り立つ。

等号成立は　 $a=b$ 　のときである。

【証明】

$\frac{1}{\,a\,},~\frac{1}{\,b\,}$ 　に対して、

相加平均と相乗平均の大小関係を適用すると

$\begin{align*} \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2} &\geqq\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{ab}} \end{align*}$

両辺正であるから、逆数をとると大小は反対になって

$\sqrt{ab}\geqq\frac{2ab}{a+b}$

等号成立は

$\frac{1}{\,a\,}=\frac{1}{\,b\,}$ 　すなわち　 $a=b$ 　のときである。