直角双曲線の垂足線（つづき） | Accademia Nuts

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直角双曲線の垂足線（つづき）

前回求めた軌跡

$\left(x^2+y^2\right)^2=x^2-y^2$ 　・・・★

はどのような曲線か。

まず微分してみたものの（計算は末尾に掲載）、よくわからなかった。
微分の計算から、x^2+y^2に着目して、極方程式で考えてみることにした。

$\begin{align*} \left(x^2+y^2\right)^2&=x^2-y^2\\ r^4&=r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta\\ r^4&=r^2\cos2\theta\\ r^2&=\cos2\theta \end{align*}$

r^2で割ってよいのか。

前回の話で、点Pは原点Oを通ることがわかっているので、r=0になることがある。

しかし、今の場合は、最後の行の方程式に「r=0の場合」が含まれるので、これでよい。

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（１）★の両辺をｘで微分

$\begin{align*} \frac{d}{dx}(x^2+y^2)^2&=\frac{d}{dx}(x^2-y^2)\\ 2(x^2+y^2)(2x+2yy')&=2x-2yy'\\ \{1+2(x^2+y^2)\}yy'&=\{1-2(x^2+y^2)\}x\\ y'&=\dfrac{1-2(x^2+y^2)}{1+2(x^2+y^2)}\cdot\dfrac{x}{y}\\ \end{align*}$

（２）それを極座標へ

軌跡上の任意の点P(x,y)の極座標を<r,θ>として、

$\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=\frac{1-2r^2}{1+2r^2}\cdot\frac{1}{\tan\theta}\\ &=\frac{-2(r+\frac{1}{\sqrt{2}})(r-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1+2r^2}\cdot\frac{1}{\tan\theta} \end{align*}$

（つづく）