巡回行列式 | Accademia Nuts

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巡回行列式

「巡回行列式」というのか知らないが、

$\begin{vmatrix} a&b&c\\ b&c&a\\ c&a&b \end{vmatrix}$

という行列式を考える。

$\begin{align*} \begin{vmatrix} a&b&c\\ b&c&a\\ c&a&b \end{vmatrix}&= acb+bac+cba-aaa-bbb-ccc\\ &=-(a^3+b^3+c^3-3abc)\\ &=-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\ &=-\frac{1}{~2~}(a+b+c)\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\} \end{align*}$

であるから、この行列式が0になるのは、

$a+b+c=0$ 　または　 $a=b=c$ 　

のときである。