つづきです。
（４）
《証明》
「ある自然数ｎに対して、ｄ_n≧１３」と仮定して矛盾を導く。
（１），（２），（３）の結果より、
と書ける。
ｄ_n≧１３より、 ℓ＝１のときｍ≧２， ℓ＝２のときｍ≧２ であるから、ｍ≧２である。
したがって、a_nとa_{n+3}はともに９で割り切れる。・・・★
ｋを自然数とする。
（i）ｎ＝３ｋのとき
であるから、★より、ｎは９の倍数である。また
であるから、★より、ｎ＋３は９の倍数である。
ここで、ｎとｎ＋３の差は３であるが、相異なる９の倍数の差は９以上でなければならないので矛盾。
（iｉ）ｎ＝３ｋ－１のとき
（ｉ）と同様に矛盾。
（ｉｉｉ）ｎ＝３ｋ－２のとき
となり、いずれも３の倍数でないから、９で割り切れず矛盾。
（ｉ），（ｉｉ），（ｉｉｉ）より，
すべての自然数ｎに対して、ｄ_n≦１２ （証明おわり）
次に、ｎ＝１２とすると、
より、最大公約数を求めて、ｄ_n=１２
ゆえに，ｎ＝１２
【コメント】
（４）はなかなか苦戦しました。
最大公約数の上限を与える問題ですから、最大公約数が大きすぎると、何か不具合が起こるのでしょう。
ａ_nやａ_{n+3}のパーツであるｎ，ｎ＋１，ｎ＋３，ｎ＋４は平行移動なので、ｄ_nがどれだけ大きくなろうが、差は一定です（最大でも４）。
この辺りに検討をつけたものの、できそうでできないままでした。
結局、（３）をベースにしてｄ_nが上のような形をしていることがわかり、（２）（３）と似た話になりました。
当初はｄ_n≧１７としぼるなどしていましたが、素因数が２と３にしぼられたことが致命傷になったようです。