つづきです。
（３）
「ある自然数ｎに対して、ｄ_nが５以上の素数ｐで割り切れる」と仮定して矛盾を導く。
このとき、a_n＝ｎ（ｎ＋１）はｐで割り切れる。
ｐは素数であるから、
「ｎがｐで割り切れる」か「ｎ＋１がｐで割り切れる」かのいずれかである。
（i）ｎがｐで割り切れるとき
ｎ＝ｋｐ（ｋは自然数）とおく。
ｄ_nがｐで割り切れるから、a_{n+3}もｐで割り切れる。
ｐは素数だから、ｋｐ＋３，ｋｐ＋４のいずれかがｐで割り切れる。
ところが、ｐ≧５であるから、ｋｐ＋３，ｋｐ＋４はともにｐで割り切れない。
よって、この場合は矛盾が生じる。
（ii）ｎ＋１がｐで割り切れるとき
ｎ＝ｋｐ－１（ｋは自然数）とおく。
この場合も（i）と同様にして、矛盾が生じる。
（i），（ii）より、いずれの場合も矛盾が生じるから、背理法により、
すべての自然数ｎに対して、ｄ_nは５以上の素数ｐで割り切れない。□
【補足】
（２）と（３）は同じ論法です。
ここまでやって気づきましたが、（２）の８を１６や３２（２のべき乗）にしても、同じ論法で証明できます。
この論法の核心は、「a_{n+3}＝（ｎ＋３）（ｎ＋４）を割り切る」という条件が「ｎ＋３またはｎ＋４を割り切る」と言い換えられることにあります。（この言い換えは一般にはできません。１２＝２×６は４で割り切れますが、２や６は４で割り切れない。）素数だからできるのが（３）であり、a_{n+3}＝偶数×奇数という特殊な形ゆえに２のべき乗でできるのが（２）です。
素数のこの性質は、素数を一般化した概念である「素元」を定義するのに出てきます（大学の代数学の本参照）