中線定理

中線定理
三角形ＡＢＣにおいて、辺ＢＣの中点をＭとする。このとき、

が成り立つ。


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直角三角形ならピタゴラスの定理（三平方の定理）がある。
しかし、三角形ＡＢＭは直角三角形ではないから、

なんて式は成り立たない。

右の三角形ＡＣＭでも、

はもちろん成り立たない。

ところが、上の２つの式を辺々足し合わせた

は成り立つ。

Ｍが辺ＢＣの中点であることから、ＢＭ＝ＣＭであることに注意して、右辺を整理すると

これが中線定理である。

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証明


∠ＡＭＢ＝θとする。
三角形ＡＢＭに余弦定理を用いると、


三角形ＡＭＣに余弦定理を用いると、∠ＡＭＣ＝180°－θであるから、

ＣＭ＝ＢＭおよびcos(180°－θ)＝－cosθより、


①＋②より

よって証明できたているが、式としてよりきれいな形にはＣＭ＝ＢＭを使って、


（証明おわり）