三角比の３つの基本公式の解釈

三角比（三角関数）の大事な３つの公式



は、それぞれどんなことを表す式なのだろうか。


【１】


は、ピタゴラスの定理（三平方の定理）である。
と、は
同じものである。

実際、
直角三角形の斜辺の長さがｃのとき、

底辺の長さはｃcosθ、高さはｃsinθとなるから
（底辺をｘとすればcosθ＝ｘ／ｃゆえ、ｘ＝ｃcosθ。sinも同様。）
ピタゴラスの左辺、右辺はそれぞれ



となり、

両辺ｃ^2で割って、


ｃ^2で割るのがわずらわしい人は、
斜辺の長さが１の小さな三角形を使えばよい。


相似に縮小、拡大しても直角三角形であることに変わりはない。
そもそも、三角比は辺どうしの比なんだから大きさは関係ない。


【２】


タンジェントは斜辺の傾きだった。
小さな三角形を持っていれば、当たり前の式に見えてくる。





【３】


実用的には、tanをcosに、cosをtanに書きかえる式だが、
なにかもう少しましな情報をもっていないだろうか。

小さな三角形に少し描き足すと、

相似比が、底辺：斜辺＝cosθ：１＝１：１/cosθより、１／cosθが出てくる。
　とピタゴラスの定理から、tanθが出る。
「傾き」とか言っておきながら、とんでもないところにtanθが現れた。

しかし、次の図を見ると、全く所以のないことでもないと思えてくる。

斜辺１が半径１となり、その円に接線を引くと例のtanθが出てくる。
tanθの線分は、半径の傾きによって決まるから、
ここで現れたタンジェントはちゃんと傾きと結びついている。