条件付き確率に関する、次の問題を考える。
問題
区別できない２つの箱Ａ、Ｂがある。
箱Ａには赤玉１個、白玉３個が入っている。
箱Ｂには赤玉３個、白玉２個が入っている。
ある箱から玉を１つ取り出す場合を考える。
赤玉を取り出した場合、選んだ箱がＡである確率
を求めよ。■
今回は、この問題の
正答、誤答、また、問題文をちょっと変えた場合の解答
を検討してみる。
この問題は、筆者が落とし穴に落ちた問題である。
自分がやられた問題を玩具にして遊ぶのは
数学の理解向上のために大事である。
＜筆者の解答（誤答）＞
求める確率は、
赤玉を取り出したという条件の下で、箱Ａから選んでいる確率
（条件付き確率）だから、
赤玉を取り出すという事象をＲ（redのＲ）、
箱Ａから取り出すという確率をＡとすると、
求める確率は、
である。
より
を計算すればよい。
箱は区別できないから、すべての玉をひとまとめにして考えると、
赤玉は４個、白玉は５個、合計９個。
赤玉を取り出す確率は
赤玉を取り出しかつ箱Ａから取り出す確率は、
よって、求める確率は、
□
これは、大間違い。
解答の中には、条件付き確率とふつうの確率がでてくる。
答え合わせで、正しい答えが出ていないと気づいてから、
筆者はまず、「条件付きにしなくてもいいところで条件付きにしたり、
条件付きにしないといけないところで、普通の確率を計算したり
しているのではないか」と、疑った。
確率は、
（求めたい事象の場合の数）÷（考えられるすべての場合の数）
考えれば間違いないと思っていたが、それではダメなのか？
と心配だったが、結局「条件付き」「条件なし」の区別は間違っていなかった。
間違っていたのは、箱の扱いだった。
「２つの箱は区別できない」と書いてあったので、
玉をいっしょくたに考えればいい、という気になっていたが、
この問題の試行をよく考えると、
玉を取り出す以前に「箱を選ぶ」という行為が存在する。
そして、この「箱を選ぶ」という行為があるせいで、
箱によって、玉の持つ確率（玉が取り出される確率）に違いが出る。
箱Ａの玉は、それぞれ
の確率で取り出されるが、
箱Ｂの玉は、それぞれ
の確率で取り出される。
２つの箱に入っている玉の数が異なるから（分母が異なるから）、
確率が違うのである。
このことを考慮に入れて、
「赤玉を取り出す確率」
を考えてみる。
赤玉を取り出すという行為は、
①箱を選ぶ → ②その箱から赤玉を取り出す
からなる。
２つの箱は区別できないので、どちらの箱を選ぶ確率も
Ａを選んだ場合と、Ｂを選んだ場合の確率を足してやればよい。
よって、
次に、赤玉かつ箱Ａである確率は、
（さっき計算したで、箱Ｂから取り出す場合を除いたものになっている。）
したがって、求める確率は、
となる。
＜検討１＞
条件付き確率は、上の解答に使った、
という形もあるが、
のように、確率を経由せず直接計算することもできる。
これを使ったらどうなるだろうか？
（解答の見た目としては、条件付き確率の公式を使わず直接解いた印象になる？）
まずｎ(Ｒ)だが、これは「赤玉を取り出す場合の数」だから、
赤玉は全部で４個より、ｎ(Ｒ)＝４．．．
これは大間違い！
この記事の最初で挙げた、＜筆者の解答（誤答）＞と同じ間違いである。
箱によって、玉の持つ確率は異なるのだった。
だから、「赤玉を１個取り出す」という事象は、
箱が違えば、同様に確からしくない。
結局、
この問題で、「ある玉一個を取り出す」という事象は
どうように確からしくないので、
これを根元事象として、から確率を計算することはできない。
この問題は、
の形を使わないと解けない問題なのである。
どうしても、場合の数から確率を計算したい、という変な人のために、
「どうように確からしい」根元事象をムリヤリ作る、
という方法を検討してみたい。
自分はそこまで変人でないという人は、ここは飛ばして、
＜検討２＞に行くか、今回はここでお別れしよう。サヨウナラ。
～根元事象をムリヤリ作る～
箱Ａの玉は４個、箱Ｂの玉は５個であった。
それぞれの箱の玉の数を、４と５の最小公倍数２０にしてしまおう。
箱Ａ・・・赤玉５個、白玉１５個
箱Ｂ・・・赤玉１２個、白玉８個
こうしてやれば、
箱Ａから赤玉を取り出す確率は、もとの設定のときと変わらず、１／４
箱Ｂから赤玉の確率も、変わらず、１／５
にしておきながら、
ある箱から玉を一個取り出すという事象は、どうように確からしい。
確率でいえば、いずれも１／４０である。
アイデアは良さそうだが、ここにきて心配なことがある。
玉が分割されたせいで、本来はない、「箱Ａから赤玉２個」などの
事象ができてしまった。
これは、もとの設定でいえば、「箱Ａから赤玉２／５個」である。
このような本来起こり得ない事象まで含まれてしまっているので、
いろいろ注意しないと正しい答えを得られないんじゃないだろうか？
まあ、とりあえず、計算して見ると、
ｎ(Ｒ)＝５＋１２＝１７
ｎ(Ａ∩Ｒ)＝５
よって、
一応、同じ答えが出た。
もとの設定をＸ、この玉を分割した設定をＹとすると、
なんか記号の濫用かもしれないけど、Ｘ⊂Ｙという関係になっている。
今やったことは、Ｘの問題をＹの下で解くということであり、
これは大丈夫そうである。
しかし、当然のことながら、逆の、Ｙの問題をＸで解くには、
さっき心配していたことが表面化して、いろいろ注意が必要になる。
＜検討２＞
条件付き確率のどちらの形を使うかは、以上で終わって、
今度は、問題文の「区別できない」という表現に注目して見よう。
「区別できない」とは、
箱の見た目が全く同じで、中身も見えないということだろう。
中身が見えたら、入ってる玉が違うから区別できていしまう。
現実的には、たとえば、チョコボールの箱が２つあって、
中に赤とか白のチョコボールが入っていて、
それを振って、１個取り出す場合を考えればいい。
赤はイチゴ味で、白はホワイトチョコレート味である。
ただし、箱は、２つともプレーンのチョコレートの箱で、傷など
区別できる印はないものとする。
では、
もし、２つの箱が「区別できる」としたら、どうなるのだろうか？
箱が区別できるとき、玉を取り出す人が、
１．どちらの箱になにが入っているか知っている場合
２．知らない場合
の２つの場合が考えられる。
まず１の場合を考えよう。
ところが、箱の中身がわかっていると、
箱を選ぶときに、取り出す人の意思が関わってくる。
したがって、どちらの箱を選ぶかという確率（つまりＰ(Ａ)）は
取り出す人次第ということになる。
もし問題文に、「１／３の確率で箱Ａを選ぶ」などと書いてあったら
この状況なのだろう。
「できるだけ赤玉を引きやすくするには、どうすればいいでしょう」
のような問題なら、中身がわかっていることは意味があるが、
今の問題の設定では、「箱Ｂを選ぶ」のは当たり前で、面白くない。
次に、２の場合。箱は区別できるが、中身を知らない場合。
これは、一回しか取り出さないなら、
基本的には、区別できないのと同じである。
現実には、これも取り出す人の意思が関与していて
箱の見た目によって、選びやすさが変わるのかもしれないが、
数学ではそういうことは考えない。
ところで、「区別できるが、中身を知らない」という設定では、
何回も取り出す場合は、面白い問題になるかもしれない。
たとえば、確率の問題じゃないけど、
区別できる２つの箱Ａ、Ｂがある。
Ａには赤１、白３が、Ｂには赤３、白２が入っているとする。
玉を取り出す人は、どちらの箱がＡでどちらがＢかは知らないが、
どちらか一方に赤１、白３が、他方に赤３、白２が入っている
ことは知っている。
どちらの箱がＡであるかわかるのにかかる取り出し回数の
最大値と最小値を求めよ。
ただし、取り出した玉は戻さないとする。
とか。
ちょっと考えてみると楽しいかも。
ちなみに、答えは、
最小値２回（同じ箱から２回赤が出た場合）
最大値７回（２つの箱をイ、ロとして、
“イ赤、ロ赤、イ白、ロ白、イ白、ロ白、イ白”など）
だと思います。
この問題を見ていて思いつきましたが、
区別できる２つの箱Ａ、Ｂに
Ａ（赤３、白０）、Ｂ（赤２、白２）の玉が入っている。
どちらの箱がＡかは知らないが、
一方の箱に（赤３、白０）、他方に（赤２、白２）が
入っていることは知っている人が、
できるだけ赤玉を出すように箱を選んで玉を取り出すとき、
２回目に赤玉を取り出す確率を求めよ。
ただし、玉は１回につき１個取り出し、出した玉は戻さないとする。
とか。（ちょっとムリヤリ作った感が・・・でも、現実にはありそう）
よかったら考えてみて下さい。
では、そろそろ答えの方に・・・
１回目に白が出れば、どっちがＡかわかるんだけど、
１回目に赤でも、出やすさは変わるかも？
（解答）
１回目でどちらが箱Ａがわかるのは、
１回目に箱Ｂを選んで白玉が出る場合だけである。
i）１回目でどちらが箱Ａかわかった場合
１回目で箱Ｂを選ぶ確率が１／２（どちらが箱Ｂかわからないから）
その上で、白が出る確率が２／４
よって、１回目でＢ白の確率は1/2×2/4＝１／４ ・・・①
２回目はＡを選ぶ。
２回目に赤が出る確率は１
したがって、この場合に２回目赤の確率は、1/4×1＝１／４
ii）１回目でどちらが箱Ａかわからなかった場合
１回目に赤が出ていることを踏まえて、２回目に赤を出すには、
同じ箱を選ぶのと、違う箱を選ぶのと、どちらがよいか考える。
同じ箱を選ぶ場合：
（Ａ赤、Ａ赤）（Ｂ赤、Ｂ赤）の２通りが考えられる。
１回目も２回目も赤がでる確率は、
1/2×3/3×2/2＋1/2×2/4×1/3＝1/2+1/12＝７／１２
違う箱を選ぶ場合：
（Ａ赤、Ｂ赤）（Ｂ赤、Ａ赤）の２通りで、
1/2×3/3×2/4＋1/2×2/4×3/3＝1/4+1/4＝６／１２
よって、同じ箱を選んだほうが赤玉が出やすいので、
同じ箱を選ぶ。
したがって、この場合の２回目赤の確率は、７／１２
以上i）ii）より、２回目に赤が出る確率は、
１／４＋７／１２＝１０／１２＝５／６ □
ここまで読んで下さった方、もしいらっしゃったら、
ありがとうございます。
最初の話からだいぶ趣の異なる話になってしまったが、
よくわからない問題は、いろいろ条件を変えたりして
比較検討することが大切である。
脱線して気づくこともあるでしょう。
問題
区別できない２つの箱Ａ、Ｂがある。
箱Ａには赤玉１個、白玉３個が入っている。
箱Ｂには赤玉３個、白玉２個が入っている。
ある箱から玉を１つ取り出す場合を考える。
赤玉を取り出した場合、選んだ箱がＡである確率
を求めよ。■
今回は、この問題の
正答、誤答、また、問題文をちょっと変えた場合の解答
を検討してみる。
この問題は、筆者が落とし穴に落ちた問題である。
自分がやられた問題を玩具にして遊ぶのは
数学の理解向上のために大事である。
＜筆者の解答（誤答）＞
求める確率は、
赤玉を取り出したという条件の下で、箱Ａから選んでいる確率
（条件付き確率）だから、
赤玉を取り出すという事象をＲ（redのＲ）、
箱Ａから取り出すという確率をＡとすると、
求める確率は、
である。より
を計算すればよい。箱は区別できないから、すべての玉をひとまとめにして考えると、
赤玉は４個、白玉は５個、合計９個。
赤玉を取り出す確率は
赤玉を取り出しかつ箱Ａから取り出す確率は、
よって、求める確率は、
□これは、大間違い。
解答の中には、条件付き確率とふつうの確率がでてくる。
答え合わせで、正しい答えが出ていないと気づいてから、
筆者はまず、「条件付きにしなくてもいいところで条件付きにしたり、
条件付きにしないといけないところで、普通の確率を計算したり
しているのではないか」と、疑った。
確率は、
（求めたい事象の場合の数）÷（考えられるすべての場合の数）
考えれば間違いないと思っていたが、それではダメなのか？
と心配だったが、結局「条件付き」「条件なし」の区別は間違っていなかった。
間違っていたのは、箱の扱いだった。
「２つの箱は区別できない」と書いてあったので、
玉をいっしょくたに考えればいい、という気になっていたが、
この問題の試行をよく考えると、
玉を取り出す以前に「箱を選ぶ」という行為が存在する。
そして、この「箱を選ぶ」という行為があるせいで、
箱によって、玉の持つ確率（玉が取り出される確率）に違いが出る。
箱Ａの玉は、それぞれ
の確率で取り出されるが、箱Ｂの玉は、それぞれ
の確率で取り出される。２つの箱に入っている玉の数が異なるから（分母が異なるから）、
確率が違うのである。
このことを考慮に入れて、
「赤玉を取り出す確率」
を考えてみる。赤玉を取り出すという行為は、
①箱を選ぶ → ②その箱から赤玉を取り出す
からなる。
２つの箱は区別できないので、どちらの箱を選ぶ確率も
Ａを選んだ場合と、Ｂを選んだ場合の確率を足してやればよい。
よって、
次に、赤玉かつ箱Ａである確率は、
（さっき計算した
で、箱Ｂから取り出す場合を除いたものになっている。）したがって、求める確率は、
となる。
＜検討１＞
条件付き確率は、上の解答に使った、
という形もあるが、
のように、確率を経由せず直接計算することもできる。
これを使ったらどうなるだろうか？
（解答の見た目としては、条件付き確率の公式を使わず直接解いた印象になる？）
まずｎ(Ｒ)だが、これは「赤玉を取り出す場合の数」だから、
赤玉は全部で４個より、ｎ(Ｒ)＝４．．．
これは大間違い！
この記事の最初で挙げた、＜筆者の解答（誤答）＞と同じ間違いである。
箱によって、玉の持つ確率は異なるのだった。
だから、「赤玉を１個取り出す」という事象は、
箱が違えば、同様に確からしくない。
結局、
この問題で、「ある玉一個を取り出す」という事象は
どうように確からしくないので、
これを根元事象として、
から確率を計算することはできない。この問題は、
の形を使わないと解けない問題なのである。
どうしても、場合の数から確率を計算したい、という変な人のために、
「どうように確からしい」根元事象をムリヤリ作る、
という方法を検討してみたい。
自分はそこまで変人でないという人は、ここは飛ばして、
＜検討２＞に行くか、今回はここでお別れしよう。サヨウナラ。
～根元事象をムリヤリ作る～
箱Ａの玉は４個、箱Ｂの玉は５個であった。
それぞれの箱の玉の数を、４と５の最小公倍数２０にしてしまおう。
箱Ａ・・・赤玉５個、白玉１５個
箱Ｂ・・・赤玉１２個、白玉８個
こうしてやれば、
箱Ａから赤玉を取り出す確率は、もとの設定のときと変わらず、１／４
箱Ｂから赤玉の確率も、変わらず、１／５
にしておきながら、
ある箱から玉を一個取り出すという事象は、どうように確からしい。
確率でいえば、いずれも１／４０である。
アイデアは良さそうだが、ここにきて心配なことがある。
玉が分割されたせいで、本来はない、「箱Ａから赤玉２個」などの
事象ができてしまった。
これは、もとの設定でいえば、「箱Ａから赤玉２／５個」である。
このような本来起こり得ない事象まで含まれてしまっているので、
いろいろ注意しないと正しい答えを得られないんじゃないだろうか？
まあ、とりあえず、計算して見ると、
ｎ(Ｒ)＝５＋１２＝１７
ｎ(Ａ∩Ｒ)＝５
よって、
一応、同じ答えが出た。
もとの設定をＸ、この玉を分割した設定をＹとすると、
なんか記号の濫用かもしれないけど、Ｘ⊂Ｙという関係になっている。
今やったことは、Ｘの問題をＹの下で解くということであり、
これは大丈夫そうである。
しかし、当然のことながら、逆の、Ｙの問題をＸで解くには、
さっき心配していたことが表面化して、いろいろ注意が必要になる。
＜検討２＞
条件付き確率のどちらの形を使うかは、以上で終わって、
今度は、問題文の「区別できない」という表現に注目して見よう。
「区別できない」とは、
箱の見た目が全く同じで、中身も見えないということだろう。
中身が見えたら、入ってる玉が違うから区別できていしまう。
現実的には、たとえば、チョコボールの箱が２つあって、
中に赤とか白のチョコボールが入っていて、
それを振って、１個取り出す場合を考えればいい。
赤はイチゴ味で、白はホワイトチョコレート味である。
ただし、箱は、２つともプレーンのチョコレートの箱で、傷など
区別できる印はないものとする。
では、
もし、２つの箱が「区別できる」としたら、どうなるのだろうか？
箱が区別できるとき、玉を取り出す人が、
１．どちらの箱になにが入っているか知っている場合
２．知らない場合
の２つの場合が考えられる。
まず１の場合を考えよう。
ところが、箱の中身がわかっていると、
箱を選ぶときに、取り出す人の意思が関わってくる。
したがって、どちらの箱を選ぶかという確率（つまりＰ(Ａ)）は
取り出す人次第ということになる。
もし問題文に、「１／３の確率で箱Ａを選ぶ」などと書いてあったら
この状況なのだろう。
「できるだけ赤玉を引きやすくするには、どうすればいいでしょう」
のような問題なら、中身がわかっていることは意味があるが、
今の問題の設定では、「箱Ｂを選ぶ」のは当たり前で、面白くない。
次に、２の場合。箱は区別できるが、中身を知らない場合。
これは、一回しか取り出さないなら、
基本的には、区別できないのと同じである。
現実には、これも取り出す人の意思が関与していて
箱の見た目によって、選びやすさが変わるのかもしれないが、
数学ではそういうことは考えない。
ところで、「区別できるが、中身を知らない」という設定では、
何回も取り出す場合は、面白い問題になるかもしれない。
たとえば、確率の問題じゃないけど、
区別できる２つの箱Ａ、Ｂがある。
Ａには赤１、白３が、Ｂには赤３、白２が入っているとする。
玉を取り出す人は、どちらの箱がＡでどちらがＢかは知らないが、
どちらか一方に赤１、白３が、他方に赤３、白２が入っている
ことは知っている。
どちらの箱がＡであるかわかるのにかかる取り出し回数の
最大値と最小値を求めよ。
ただし、取り出した玉は戻さないとする。
とか。
ちょっと考えてみると楽しいかも。
ちなみに、答えは、
最小値２回（同じ箱から２回赤が出た場合）
最大値７回（２つの箱をイ、ロとして、
“イ赤、ロ赤、イ白、ロ白、イ白、ロ白、イ白”など）
だと思います。
この問題を見ていて思いつきましたが、
区別できる２つの箱Ａ、Ｂに
Ａ（赤３、白０）、Ｂ（赤２、白２）の玉が入っている。
どちらの箱がＡかは知らないが、
一方の箱に（赤３、白０）、他方に（赤２、白２）が
入っていることは知っている人が、
できるだけ赤玉を出すように箱を選んで玉を取り出すとき、
２回目に赤玉を取り出す確率を求めよ。
ただし、玉は１回につき１個取り出し、出した玉は戻さないとする。
とか。（ちょっとムリヤリ作った感が・・・でも、現実にはありそう）
よかったら考えてみて下さい。
では、そろそろ答えの方に・・・
１回目に白が出れば、どっちがＡかわかるんだけど、
１回目に赤でも、出やすさは変わるかも？
（解答）
１回目でどちらが箱Ａがわかるのは、
１回目に箱Ｂを選んで白玉が出る場合だけである。
i）１回目でどちらが箱Ａかわかった場合
１回目で箱Ｂを選ぶ確率が１／２（どちらが箱Ｂかわからないから）
その上で、白が出る確率が２／４
よって、１回目でＢ白の確率は1/2×2/4＝１／４ ・・・①
２回目はＡを選ぶ。
２回目に赤が出る確率は１
したがって、この場合に２回目赤の確率は、1/4×1＝１／４
ii）１回目でどちらが箱Ａかわからなかった場合
１回目に赤が出ていることを踏まえて、２回目に赤を出すには、
同じ箱を選ぶのと、違う箱を選ぶのと、どちらがよいか考える。
同じ箱を選ぶ場合：
（Ａ赤、Ａ赤）（Ｂ赤、Ｂ赤）の２通りが考えられる。
１回目も２回目も赤がでる確率は、
1/2×3/3×2/2＋1/2×2/4×1/3＝1/2+1/12＝７／１２
違う箱を選ぶ場合：
（Ａ赤、Ｂ赤）（Ｂ赤、Ａ赤）の２通りで、
1/2×3/3×2/4＋1/2×2/4×3/3＝1/4+1/4＝６／１２
よって、同じ箱を選んだほうが赤玉が出やすいので、
同じ箱を選ぶ。
したがって、この場合の２回目赤の確率は、７／１２
以上i）ii）より、２回目に赤が出る確率は、
１／４＋７／１２＝１０／１２＝５／６ □
ここまで読んで下さった方、もしいらっしゃったら、
ありがとうございます。
最初の話からだいぶ趣の異なる話になってしまったが、
よくわからない問題は、いろいろ条件を変えたりして
比較検討することが大切である。
脱線して気づくこともあるでしょう。