２次正方行列は４つの行列に分解されます。
右辺の一つの成分が１で残りの成分が０であるような行列を
行列単位と言います。
単位行列（対角成分が１で他が０の行列）とは異なるものです。
２次正方行列は４つの行列単位の和で表されることになります。
（a,b,c,dといった係数は要りますが。）
行列単位どうしの間の関係をまとめておけば
行列の計算や公式の証明を見通し良くできることが期待されます。
右辺の行列単位を左から順番にe,f,g,hと書くことにします。
計算すればすぐわかることですが、掛け算に関する関係を表にまとめておきます。
この表だけだといまいち規則性が見えにくいかもしれませんが、
実はｆとｇさえあれば事足りることがわかります。
＜ｆ,ｇに関する公式＞
（冪零性） ｆｆ＝０，ｇｇ＝０
（はさみうち）ｆｇｆ＝ｆ，ｇｆｇ＝ｇ
（変異） ｆｇ＝ｅ，ｇｆ＝ｈ
変異公式により、ｅとｈはｆとｇから作ることができるのです。
すると、この記事の最初に出てきたa,b,c,dの行列は（これをＡとすると）
Ａ＝aｅ＋bｆ＋cｇ＋dｈ
＝aｆｇ＋bｆ＋cｇ＋dｇｆ
と書けます。
応用として、これを使って、
trＡＢ＝trＢＡ
を証明しましょう。
とします。
ＡＢ＝（aｆｇ+bｆ＋cｇ＋dｇｆ）（xｆｇ+yｆ＋zｇ＋wｇｆ）
＝axｆｇ＋ayｆ＋bzｆｇ＋bwｆ＋cxｇ＋cyｇｆ＋dzｇ＋dwｇｆ
＝（ax＋bz）ｆｇ＋（ay＋bw）ｆ＋（cx＋dz）ｇ＋（cy＋dw）ｇｆ
ＢＡ＝（xa＋yc）ｆｇ＋（xb＋yd）ｆ＋（za＋wc）ｇ＋（zb＋wd）ｇｆ
（a←→x,b←→y,c←→z,d←→wと入れ替えれば速い）
trＡＢ＝ax＋bz＋cy＋dw
trＢＡ＝xa＋yc＋zb＋wd
となり示された。
基本的なこととして、
２次正方行列Ａをｆ,ｇで表したとき、その表し方が一通りしかないことを
確かめておきましょう。つまり、もし
aｆｇ＋bｆ＋cｇ＋dｇｆ＝a'ｆｇ＋b'ｆ＋c'ｇ＋d'ｇｆ
と書けるならば、a＝a'，b＝b'，c＝c'，d＝d'であることを確かめます。
a＝a'を示します。両辺に右からｆを掛けると、
aｆ＋cｇｆ＝a'ｆ＋c'ｇｆ
両辺に左からｇを掛けると、
aｇｆ＝a'ｇｆ
（a－a'）ｈ＝０
ｈは零行列ではないので、スカラーを掛けて０になるということは
スカラーが０でないといけません。よって、
a＝a'
となります。
b＝b'，c＝c'，d＝d'も似たようなことをすれば証明できます。
（他の行列単位が消えるように右や左からｆ,ｇを掛けるのがポイントです。）
まあ、行列単位だということを考えれば一通りいし書けないのは
明らかかもしれませんが、一応証明しました。
こうして証明したことで、
２次正方行列の行列単位に限らず、一般にｆ,ｇで、
（冪零性） ｆｆ＝０，ｇｇ＝０
（はさみうち）ｆｇｆ＝ｆ，ｇｆｇ＝ｇ
を満たすものがあるとき、これらの性質に加え、
λf＝０⇒λ＝０，λｇ＝０⇒λ＝０
も満たされるならば、
aｆｇ＋bｆ＋cｇ＋dｇｆという表しかたは一通りである、ということがわかります。
右辺の一つの成分が１で残りの成分が０であるような行列を
行列単位と言います。
単位行列（対角成分が１で他が０の行列）とは異なるものです。
２次正方行列は４つの行列単位の和で表されることになります。
（a,b,c,dといった係数は要りますが。）
行列単位どうしの間の関係をまとめておけば
行列の計算や公式の証明を見通し良くできることが期待されます。
右辺の行列単位を左から順番にe,f,g,hと書くことにします。
計算すればすぐわかることですが、掛け算に関する関係を表にまとめておきます。
この表だけだといまいち規則性が見えにくいかもしれませんが、
実はｆとｇさえあれば事足りることがわかります。
＜ｆ,ｇに関する公式＞
（冪零性） ｆｆ＝０，ｇｇ＝０
（はさみうち）ｆｇｆ＝ｆ，ｇｆｇ＝ｇ
（変異） ｆｇ＝ｅ，ｇｆ＝ｈ
変異公式により、ｅとｈはｆとｇから作ることができるのです。
すると、この記事の最初に出てきたa,b,c,dの行列は（これをＡとすると）
Ａ＝aｅ＋bｆ＋cｇ＋dｈ
＝aｆｇ＋bｆ＋cｇ＋dｇｆ
と書けます。
応用として、これを使って、
trＡＢ＝trＢＡ
を証明しましょう。
とします。
ＡＢ＝（aｆｇ+bｆ＋cｇ＋dｇｆ）（xｆｇ+yｆ＋zｇ＋wｇｆ）
＝axｆｇ＋ayｆ＋bzｆｇ＋bwｆ＋cxｇ＋cyｇｆ＋dzｇ＋dwｇｆ
＝（ax＋bz）ｆｇ＋（ay＋bw）ｆ＋（cx＋dz）ｇ＋（cy＋dw）ｇｆ
ＢＡ＝（xa＋yc）ｆｇ＋（xb＋yd）ｆ＋（za＋wc）ｇ＋（zb＋wd）ｇｆ
（a←→x,b←→y,c←→z,d←→wと入れ替えれば速い）
trＡＢ＝ax＋bz＋cy＋dw
trＢＡ＝xa＋yc＋zb＋wd
となり示された。
基本的なこととして、
２次正方行列Ａをｆ,ｇで表したとき、その表し方が一通りしかないことを
確かめておきましょう。つまり、もし
aｆｇ＋bｆ＋cｇ＋dｇｆ＝a'ｆｇ＋b'ｆ＋c'ｇ＋d'ｇｆ
と書けるならば、a＝a'，b＝b'，c＝c'，d＝d'であることを確かめます。
a＝a'を示します。両辺に右からｆを掛けると、
aｆ＋cｇｆ＝a'ｆ＋c'ｇｆ
両辺に左からｇを掛けると、
aｇｆ＝a'ｇｆ
（a－a'）ｈ＝０
ｈは零行列ではないので、スカラーを掛けて０になるということは
スカラーが０でないといけません。よって、
a＝a'
となります。
b＝b'，c＝c'，d＝d'も似たようなことをすれば証明できます。
（他の行列単位が消えるように右や左からｆ,ｇを掛けるのがポイントです。）
まあ、行列単位だということを考えれば一通りいし書けないのは
明らかかもしれませんが、一応証明しました。
こうして証明したことで、
２次正方行列の行列単位に限らず、一般にｆ,ｇで、
（冪零性） ｆｆ＝０，ｇｇ＝０
（はさみうち）ｆｇｆ＝ｆ，ｇｆｇ＝ｇ
を満たすものがあるとき、これらの性質に加え、
λf＝０⇒λ＝０，λｇ＝０⇒λ＝０
も満たされるならば、
aｆｇ＋bｆ＋cｇ＋dｇｆという表しかたは一通りである、ということがわかります。