べき零行列は正則でない（逆行列をもたない）

べき零行列は正則でないことを証明をします。

以下に登場する行列はすべてｎ次正方行列とする。



～用語の確認～

○零行列Ｏ
成分がすべて０であるような行列を零行列という。
Ｏと書く。

○単位行列○
対角成分が１、その他の成分が０である行列を単位行列という。
Ｉと書く。

○べき零行列○
何乗かする零行列になる行列のこと。
Ａがべき零　⇔　Ａ＾ｒ＝Ｏとなる自然数ｒが存在する。

○正則○
逆行列をもつこと。
Ａが正則　⇔　ＡＢ＝ＢＡ＝Ｉとなる行列Ｂが存在する。




～証明～

ＡをＯでない、べき零行列とする。

Ａが正則であるとして矛盾を導く。

Ａの逆行列をＢとすると、ＡＢ＝Ｉ・・・①

Ａはべき零だから、

　Ａ＾ｒ＝Ｏ　かつ　Ａ＾ｍ≠Ｏ（ｍはｍ＜ｒを満たす自然数）

を満たす自然数ｒが存在する。

①の両辺に左からＡ＾(ｒ－１)を掛けると、

　ＯＢ＝Ａ＾（ｒ－１）

左辺はＯだが、右辺はＯでないから矛盾。

よって、Ｏでない、べき零行列は正則でない。

また、Ｏは正則でないから、結局、

べき零行列は正則でない。□




べき零行列では、Ａ＾ｒ＝Ｏとなる最小のｒが存在する。
なぜなら、ｒは自然数だからｒ≧１であり、
ｒ＝１から順番にｒ＝２、３、・・・とＡ＾ｒを調べていって、
はじめてＡ＾ｒ＝Ｏになったｒが、それだからである。

Ａ＝Ｏとなる最小のｒが１の場合、
Ａ＾１＝Ｏだから、Ａ＝Ｏということになり、
ｍ＜ｒを満たす自然数ｍは存在しないが、
Ａ≠Ｏとしている限り、ｒ≧２である。

ｒ＝１（Ａ＝Ｏ）の場合は、証明の最後の方に書いてある通りである。