今回は、『ベクトルの掛け算』を
代数的な観点から調べます。
ベクトルの掛け算には、すでに内積がありますが、内積は、
ベクトル・ベクトル＝数
というタイプの掛け算であり、不完全です。不満です。
完全な掛け算とは、
ベクトル×ベクトル＝ベクトル
となるような掛け算のことで、
この記事では、このようなタイプの掛け算を見出すことを目指します。
このようなタイプの掛け算として、外積というものがありますが、
外積は3次元にしか現れず、やはり不満です。
現代高校数学界では、2次元においても適用できる乗法の発見が
待たれているのです。
そして、当たり前ですが、その新しい乗法は、
従来の、ベクトルの加法、スカラー倍、内積と
両立するものでなくてはなりません。
まず、
加法（足し算）と乗法（掛け算）の関係を、
ベクトルでない、ふつーの数を使って見てみましょう。
０と１に着目すると、
ｐ＋０＝ｐ，０＋ｐ＝ｐ
ｐ×１＝ｐ，１×ｐ＝ｐ
というきれいな性質が、まず目につきます。
加法において、０は「変化させないもの」です。
それに対応するように、
乗法では、１が「変化させないもの」になっています。
０は、乗法においても、面白い役割を持っています。
ｐ×０＝０，０×ｐ＝０
という性質です。しかし、
ｐ＋１，１＋ｐ
からは、今ほしいような性質は出てきません。
以上が、加法と乗法の関係です。
あ、あと、分配法則も大事です。
次に、
ベクトルに、この関係を引きこみましょう。
０は、すでにありますから、
１に当たるベクトルがなんなのか考えましょう。
しかし、１は加法に対してはあまり関与しないので、
乗法がなく加法しかないベクトルの世界で１を見つけるのは難しい。
ｐ×０＝０，０×ｐ＝０
をヒントに、まず、掛け算を決めてしまいましょう。
掛け算を関数で表して、
と書いておきます。
０を掛けると０だから、
ｆ(a,b,0,0)＝０，ｇ(a,b,0,0)＝０
ｆ(0,0,c,d)＝０，ｇ(0,0,c,d)＝０
分配法則より、
ｆ(a+p,b+q,c,d)＝ｆ(a,b,c,d)＋ｆ(p,q,c,d)
ｆ(a,b,c+p,d+q)＝ｆ(a,b,c,d)＋ｆ(a,b,p,q)
g(a+p,b+q,c,d)＝g(a,b,c,d)＋g(p,q,c,d)
g(a,b,c+p,d+q)＝g(a,b,c,d)＋g(a,b,p,q)
ｆ、ｇはきっと多項式でしょう。そうすると、ｆは（ｇも同様）
ｆ(a,b,c,d)＝αac±βbd
ｆ(a,b,c,d)＝αad±βbc （α、βは実数）
という形に絞られます。（a,b,c,dそれぞれに関して一次式で、
どの項にも、「aまたはb」があり、かつ「ｃまたはｄ」がある。）
“ｆ(a,b,c,d)＝αac±βbd”をAタイプ、
“ｆ(a,b,c,d)＝αad±βbc”をBタイプとします。
１に相当するベクトルを求めます。
とおきます。
＜Aタイプの場合＞
１を掛けても変わらないことから、
ｆ(a,b,s,t)＝αas±βbt＝ｓ
これがa,bの恒等式となるはずなので、ｓ＝０
ｇの方でも同様なので、
１に相当するベクトルは０ということになってしまいます。
これはBタイプでも同じことなので、
残念ながら、１に相当するベクトルは存在しないことになります。
まあ、しかし、
１がないというのは、実はよくあることです。
全く高校数学じゃないですが、興味のある方は、
作用素環とか、ノルム環とか、作用素代数とか言ったような
本を図書館か本屋でさがせば、載ってると思います。
（でも、いい感じに１のことだけわかるように書いてる本はないかも）
関数をベクトルだと思って、ある種の積分（たたみこみ）で掛け算を定めると、
１に相当する関数はありません。
あえていうと、δ関数という“関数もどき”が１になります。
１はあきらめて、掛け算を考えましょう。
ｆもｇもAタイプで、簡単に
ｆ(a,b,c,d)＝ac＋bd，ｇ(a,b,c,d)＝ac＋bd
としてみましょう。これは実は、
ってことなんです。
内積を成分に持ってきてるわけです。
±のところを－にすると内積でななくなります。
また、Bタイプの場合、±で－を採ると、デターミナント（行列式）になります。
＋を採ると、デターミナントではありません。
どれを採用するのがいいのかは、もうちょっと考えないといけませんが、
とりあえず、掛け算のあるべき姿が見えてきました。
以下のいずれでも、（2次元）ベクトルの掛け算です。
（ただし複合同順でなくてもよい）
最後に、三次元だとどうなるか見ておきましょう。
上と同じ議論の結果、
a,b,c,p,q,rそれぞれに関して一次式で、
どの項にも「aまたはbまたはc」があり、かつ「pまたはqまたはr」がある
ようにすればいいので、
ｆ(a,b,c,p,q,r)＝αap＋βaq＋γar＋δbp＋εbq＋ζbr＋ηcp＋θcq＋ιcr
てな感じでしょうか。
「外積」は、
ｆを（α,β,γ,δ,ε,ζ,η,θ,ι）＝（0,0,0,0,0,1,0,-1,0）
ｇを（α,β,γ,δ,ε,ζ,η,θ,ι）＝（0,0,-1,0,0,0,1,0,0）
ｈを（α,β,γ,δ,ε,ζ,η,θ,ι）＝（0,1,0,-1,0,0,0,0,0）
としたものです。
代数的な観点から調べます。
ベクトルの掛け算には、すでに内積がありますが、内積は、
ベクトル・ベクトル＝数
というタイプの掛け算であり、不完全です。不満です。
完全な掛け算とは、
ベクトル×ベクトル＝ベクトル
となるような掛け算のことで、
この記事では、このようなタイプの掛け算を見出すことを目指します。
このようなタイプの掛け算として、外積というものがありますが、
外積は3次元にしか現れず、やはり不満です。
現代高校数学界では、2次元においても適用できる乗法の発見が
待たれているのです。
そして、当たり前ですが、その新しい乗法は、
従来の、ベクトルの加法、スカラー倍、内積と
両立するものでなくてはなりません。
まず、
加法（足し算）と乗法（掛け算）の関係を、
ベクトルでない、ふつーの数を使って見てみましょう。
０と１に着目すると、
ｐ＋０＝ｐ，０＋ｐ＝ｐ
ｐ×１＝ｐ，１×ｐ＝ｐ
というきれいな性質が、まず目につきます。
加法において、０は「変化させないもの」です。
それに対応するように、
乗法では、１が「変化させないもの」になっています。
０は、乗法においても、面白い役割を持っています。
ｐ×０＝０，０×ｐ＝０
という性質です。しかし、
ｐ＋１，１＋ｐ
からは、今ほしいような性質は出てきません。
以上が、加法と乗法の関係です。
あ、あと、分配法則も大事です。
次に、
ベクトルに、この関係を引きこみましょう。
０は、すでにありますから、
１に当たるベクトルがなんなのか考えましょう。
しかし、１は加法に対してはあまり関与しないので、
乗法がなく加法しかないベクトルの世界で１を見つけるのは難しい。
ｐ×０＝０，０×ｐ＝０
をヒントに、まず、掛け算を決めてしまいましょう。
掛け算を関数で表して、
と書いておきます。
０を掛けると０だから、
ｆ(a,b,0,0)＝０，ｇ(a,b,0,0)＝０
ｆ(0,0,c,d)＝０，ｇ(0,0,c,d)＝０
分配法則より、
ｆ(a+p,b+q,c,d)＝ｆ(a,b,c,d)＋ｆ(p,q,c,d)
ｆ(a,b,c+p,d+q)＝ｆ(a,b,c,d)＋ｆ(a,b,p,q)
g(a+p,b+q,c,d)＝g(a,b,c,d)＋g(p,q,c,d)
g(a,b,c+p,d+q)＝g(a,b,c,d)＋g(a,b,p,q)
ｆ、ｇはきっと多項式でしょう。そうすると、ｆは（ｇも同様）
ｆ(a,b,c,d)＝αac±βbd
ｆ(a,b,c,d)＝αad±βbc （α、βは実数）
という形に絞られます。（a,b,c,dそれぞれに関して一次式で、
どの項にも、「aまたはb」があり、かつ「ｃまたはｄ」がある。）
“ｆ(a,b,c,d)＝αac±βbd”をAタイプ、
“ｆ(a,b,c,d)＝αad±βbc”をBタイプとします。
１に相当するベクトルを求めます。
とおきます。
＜Aタイプの場合＞
１を掛けても変わらないことから、
ｆ(a,b,s,t)＝αas±βbt＝ｓ
これがa,bの恒等式となるはずなので、ｓ＝０
ｇの方でも同様なので、
１に相当するベクトルは０ということになってしまいます。
これはBタイプでも同じことなので、
残念ながら、１に相当するベクトルは存在しないことになります。
まあ、しかし、
１がないというのは、実はよくあることです。
全く高校数学じゃないですが、興味のある方は、
作用素環とか、ノルム環とか、作用素代数とか言ったような
本を図書館か本屋でさがせば、載ってると思います。
（でも、いい感じに１のことだけわかるように書いてる本はないかも）
関数をベクトルだと思って、ある種の積分（たたみこみ）で掛け算を定めると、
１に相当する関数はありません。
あえていうと、δ関数という“関数もどき”が１になります。
１はあきらめて、掛け算を考えましょう。
ｆもｇもAタイプで、簡単に
ｆ(a,b,c,d)＝ac＋bd，ｇ(a,b,c,d)＝ac＋bd
としてみましょう。これは実は、
ってことなんです。
内積を成分に持ってきてるわけです。
±のところを－にすると内積でななくなります。
また、Bタイプの場合、±で－を採ると、デターミナント（行列式）になります。
＋を採ると、デターミナントではありません。
どれを採用するのがいいのかは、もうちょっと考えないといけませんが、
とりあえず、掛け算のあるべき姿が見えてきました。
以下のいずれでも、（2次元）ベクトルの掛け算です。
（ただし複合同順でなくてもよい）
最後に、三次元だとどうなるか見ておきましょう。
上と同じ議論の結果、
a,b,c,p,q,rそれぞれに関して一次式で、
どの項にも「aまたはbまたはc」があり、かつ「pまたはqまたはr」がある
ようにすればいいので、
ｆ(a,b,c,p,q,r)＝αap＋βaq＋γar＋δbp＋εbq＋ζbr＋ηcp＋θcq＋ιcr
てな感じでしょうか。
「外積」は、
ｆを（α,β,γ,δ,ε,ζ,η,θ,ι）＝（0,0,0,0,0,1,0,-1,0）
ｇを（α,β,γ,δ,ε,ζ,η,θ,ι）＝（0,0,-1,0,0,0,1,0,0）
ｈを（α,β,γ,δ,ε,ζ,η,θ,ι）＝（0,1,0,-1,0,0,0,0,0）
としたものです。