≪お知らせ≫
この記事の第２版http://ameblo.jp/accade/entry-11931555982.htmlが完成しました。
この記事では「グラフの変化」に重きを置いていますが、
第２版では「方程式の解の意味」を中心に書き直し、
文章の書き方もなるべく冗長にならないように変えました。
よろしければ、第２版の方もご覧ください。（2014年9月28日）
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問題
円
と放物線
が接するようなkの値を求めよ。
ここでは、解いたことがある人を対象に、
次の二点について詳しく見ていきたいと思います。
１．接している状況を座標平面に書くと
どんな感じか。何通りあるか。
２．「接する
判別式＝0」なのか。
まず、１．について、
「接している状態が何通りあるか」ですが、
そして、
です。
「（1，0）（１，0）は接点じゃないじゃないか」
と言われるかもしれませんが、
（0，-1）で接してるので、この図でも円と放物線は
「接して」います。
次に、２．についてです。
「共有点なら連立方程式！」ということで、
を消去して、
を得ます。
ここで、「接しているということは、判別式＝0だから」と言って、
より
とすると、上図二番目
の状態しか出てきません。
上図三番目
が出てこない理由は簡単です。
この図では、共有点のy座標は、２種類あるので、
の解は、相異なる2つの解をもつはずです。
したがって、そのようなkに対しては、D＝5＋4k＞0となるからです。
では、
上図一番目
はどうでしょう。
こちらは、共有点のy座標は一つですから、
「の解は一つ、すなわち重解だ！」
と思ってしまいがちですが、実は違います。
実際、D＝0とならない（重解ではない）ことを
計算で確認できます。
図からわかるように、このとき、
放物線の頂点（0，k）は、（0，1）の位置にあるので、
k＝1です。よって、
となり、確かに、D≠0です。
しかし、D＞0なら、解は2つあるはず。
もう一個はどこに行ってしまったのでしょう？
とりあえず、もう一個の解が何なのか、
方程式を解いて見ましょう。k＝1を代入してやると、
となります。
y＝1の方は、図に現れている接点のy座標です。
したがって、y＝-2が例の「もう一個の解」です。
が、下図を見て明らかなように、y＝-2で、円と放物線は
共有点を持ちません。（y＝-2は円よりも下！）
このような食い違い（解は2個あるのに、共有点は1個しかない）
が生じる原因は、連立方程式
と、2次方程式
が同値でないことにあります。
同値でない根拠としては、たとえば、
『連立方程式の方では、円の条件により、
yの範囲は、-1≦y≦1に限られるが、
2次方程式の方では、その情報がなくなってしまっている』
ことが挙げられます。
-1≦y≦1を考慮すれば、上で出てきたy＝1，-2のうち、
-2は不適となるので、つじつまが合います。
じゃあ、「どうしたら同値なのか」というのは
気になるところですが、それをいろいろ根拠建てて
考えるのは面倒なので（筆者にはいまいちよくわからないので）、
各自やってもらうことにして、
ここでは以下のことに注意するだけにします。
まあ、
が
共有点のy座標を表していると思い過ぎるべきではない
ということです。
共有点を表しているのは、飽くまで
の方です。
の接点のy座標が「重解でない」ことを、計算で確かめましたが、
絵で理解することもできます。
重解というのは、
「絵」的には、重なるイメージです。
たとえば、今回の問題でD＝0のときを例にとってみましょう。
下図のように、最初共有点が4個ある状態から、
放物線がだんだん下がっていくと・・・
のように、共有点が重なって2個になります。
これが重解の「重なるイメージ」です。
しかし、さっきの
「共有点は1個だが、の解が2個ある」場合
（円のてっぺんで接する場合）は、
となり、重なりません！
いや、2つの赤点（共有点）は、確かに「重なる」のですが、
重なるのは“x座標”であって、
y座標”は重なりません。
（私たちは、“yの”方程式を考えている！）
赤い水平線を参考にしてほしいのですが、
共有点のy座標は、もともと一つであり、
接点で「重なった」わけではありません。
もっとよくわかるように、D＝0（重解）の場合を、
赤い水平線付きでもう一度見て下さい。
（もちろんx座標も重なるが、）y座標が重なる様子が
お分かりいただけたでしょうか。
この記事の第２版http://ameblo.jp/accade/entry-11931555982.htmlが完成しました。
この記事では「グラフの変化」に重きを置いていますが、
第２版では「方程式の解の意味」を中心に書き直し、
文章の書き方もなるべく冗長にならないように変えました。
よろしければ、第２版の方もご覧ください。（2014年9月28日）
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問題
円
と放物線が接するようなkの値を求めよ。
ここでは、解いたことがある人を対象に、
次の二点について詳しく見ていきたいと思います。
１．接している状況を座標平面に書くと
どんな感じか。何通りあるか。
２．「接する
判別式＝0」なのか。まず、１．について、
「接している状態が何通りあるか」ですが、
そして、
です。
「（1，0）（１，0）は接点じゃないじゃないか」
と言われるかもしれませんが、
（0，-1）で接してるので、この図でも円と放物線は
「接して」います。
次に、２．についてです。
「共有点なら連立方程式！」ということで、
を消去して、を得ます。ここで、「接しているということは、判別式＝0だから」と言って、
より
とすると、上図二番目
の状態しか出てきません。
なぜ一番目と三番目は出てこないのでしょう？
上図三番目
が出てこない理由は簡単です。
この図では、共有点のy座標は、２種類あるので、
の解は、相異なる2つの解をもつはずです。したがって、そのようなkに対しては、D＝5＋4k＞0となるからです。
では、
上図一番目
はどうでしょう。
こちらは、共有点のy座標は一つですから、
「
の解は一つ、すなわち重解だ！」と思ってしまいがちですが、実は違います。
実際、D＝0とならない（重解ではない）ことを
計算で確認できます。
図からわかるように、このとき、
放物線の頂点（0，k）は、（0，1）の位置にあるので、
k＝1です。よって、
となり、確かに、D≠0です。
しかし、D＞0なら、解は2つあるはず。
もう一個はどこに行ってしまったのでしょう？
とりあえず、もう一個の解が何なのか、
方程式を解いて見ましょう。k＝1を代入してやると、
となります。
y＝1の方は、図に現れている接点のy座標です。
したがって、y＝-2が例の「もう一個の解」です。
が、下図を見て明らかなように、y＝-2で、円と放物線は
共有点を持ちません。（y＝-2は円よりも下！）
このような食い違い（解は2個あるのに、共有点は1個しかない）
が生じる原因は、連立方程式
と、2次方程式
が同値でないことにあります。
同値でない根拠としては、たとえば、
『連立方程式の方では、円の条件により、
yの範囲は、-1≦y≦1に限られるが、
2次方程式の方では、その情報がなくなってしまっている』
ことが挙げられます。
-1≦y≦1を考慮すれば、上で出てきたy＝1，-2のうち、
-2は不適となるので、つじつまが合います。
じゃあ、「どうしたら同値なのか」というのは
気になるところですが、それをいろいろ根拠建てて
考えるのは面倒なので（筆者にはいまいちよくわからないので）、
各自やってもらうことにして、
ここでは以下のことに注意するだけにします。
まあ、
が共有点のy座標を表していると思い過ぎるべきではない
ということです。
共有点を表しているのは、飽くまで
の方です。
この連立方程式を、「接する」という条件の下で
解くにあたって、その過程で謂わば「道具」として
出てきたに過ぎないのです。
このように、捉えておいたほうが、間違いがないと、
最近思っています。
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以下、マークを付けたところに関する補足です。
のところでは、
の接点のy座標が「重解でない」ことを、計算で確かめましたが、
絵で理解することもできます。
重解というのは、
「絵」的には、重なるイメージです。
たとえば、今回の問題でD＝0のときを例にとってみましょう。
下図のように、最初共有点が4個ある状態から、
放物線がだんだん下がっていくと・・・
のように、共有点が重なって2個になります。
これが重解の「重なるイメージ」です。
しかし、さっきの
「共有点は1個だが、
の解が2個ある」場合（円のてっぺんで接する場合）は、
となり、重なりません！
いや、2つの赤点（共有点）は、確かに「重なる」のですが、
重なるのは“x座標”であって、
y座標”は重なりません。
（私たちは、“yの”方程式
を考えている！）赤い水平線を参考にしてほしいのですが、
共有点のy座標は、もともと一つであり、
接点で「重なった」わけではありません。
もっとよくわかるように、D＝0（重解）の場合を、
赤い水平線付きでもう一度見て下さい。
（もちろんx座標も重なるが、）y座標が重なる様子が
お分かりいただけたでしょうか。
絵で見ると、
共有点が重なって接点となるときに、
共有点のy座標が重なって一つになることなのです。
このイメージを持っていれば、
での接点が重解でないことは、
容易に理解できます。