定積分を計算していると、
間違っていないはずなのに、
模範解答とあわないことがある。
それは、同じ関数なのだが、
違う表現で書いてしまっているから
なのかもしれない。
たとえば、
２ｘ
sin（２arctan ｘ）＝―――
ｘ^2＋１
である。
一見、左辺の三角関数と、右辺の有理関数は、
同じ関数とは思えないが、
以下に示すように、実は、同じものである。
arctan ｘ＝θとしよう。
（このとき、ｘ＝tanθ）
すると、ｘは下図のような位置である。
上図の緑色の部分で三角形の相似を考えると、
１ cosθ
―――― ＝ ――― ・・・ア
√ｘ＾2＋１ １
今度は、下図の青色の部分で三角形の相似を
考えると、
ｘ sinθ
―――― ＝ ――― ・・・イ
√ｘ＾2＋１ １
アとイの両辺をかけると、
ｘ
――― ＝ sinθcosθ
ｘ^2＋１
よって、
２ｘ
――― ＝ ２sinθcosθ
ｘ^2＋１
＝ sin（2θ）
＝ sin（2arctan ｘ）
となり、示された。