以下 lim と書けば、
lim
ｎ→∞
のことであるとします。
極限の足し算の公式（？）
lim（ａ_n），lim（ｂ_n）が存在する
とき、
lim｛ａ_n＋ｂ_n｝＝lim（ａ_n）＋lim（ｂ_n）
が成り立つ。
というのがあります。
「存在する」とは、有限の値（∞でも－∞でもない値）に
収束するということです。
この公式を使う問題として、たとえば、
lim｛ｅ＾(-n)＋sin（１/ｎ）｝を求めよ。
があります。
lim｛ｅ＾(-n)｝もlim｛sin（１/ｎ）｝も存在するので、
limを分配
することができて、
lim｛ｅ＾(-n)＋sin（１/ｎ）｝
＝lim｛ｅ＾(-n)｝＋lim｛sin（１/ｎ）｝
＝０＋０
＝０
となります。
limをあたかも“数”のように思うと
lim｛ａ_n＋ｂ_n｝＝lim（ａ_n）＋lim（ｂ_n）
ｃ×（ａ_n＋ｂ_n）＝ｃ×ａ_n＋ｃ×ｂ_n
となり、分配法則とよく似た格好になっている。
では、
lim｛log（１＋ｎ）＋log（１/ｎ）｝を求めよ。
の場合はどうでしょうか？
さっきのように、分配して、
lim｛log（１＋ｎ）＋log（１/ｎ）｝
＝lim｛log（１＋ｎ）｝＋lim｛log（１/ｎ）｝
＝∞＋（－∞）
としたら、もちろん間違いで、
lim｛log（１＋ｎ）＋log（１/ｎ）｝
＝lim｛log（(1+n)/ｎ）｝
＝lim｛log（(1/n)＋１）｝
＝log（１）
＝０
のようにlimの｛｝の中を先に計算するのが正解です。
どこで間違ったかというと、
lim｛log（１＋ｎ）＋log（１/ｎ）｝
＝lim｛log（１＋ｎ）｝＋lim｛log（１/ｎ）｝ ←OUT!
＝∞＋（－∞）
lim｛log（１＋ｎ）｝もlim｛log（１/ｎ）｝も存在しないのに、
1行目と2行目を「＝」で結んではいけません。
では、逆に、
最初からlimが分配されていたらどうでしょうか？
lim｛ｅ＾(-n)｝＋lim｛sin（１/ｎ）｝を求めよ。
これは、そのままlimごとに別々に計算すればＯＫ。
わざわざ
lim｛ｅ＾(-n)｝＋lim｛sin（１/ｎ）｝
＝lim｛ｅ＾(-n)＋sin（１/ｎ）｝
と合体させても、なんの得にもなりません。
次に、
lim｛log（１＋ｎ）｝＋lim｛log（１/ｎ）｝を求めよ。
はどうでしょうか。
lim｛log（１＋ｎ）｝＋lim｛log（１/ｎ）｝
＝lim｛log（１＋ｎ）＋log（１/ｎ）｝
＝lim｛log（(1+n)/ｎ）｝
＝lim｛log（(1/n)＋１）｝
＝log（１）
＝０
とかしてはいけません。
1行目と2行目を結ぶ「＝」が成り立つには、
lim｛log（１＋ｎ）｝ と lim｛log（１/ｎ）｝
がともに存在しないといけません。
しかし、両方とも発散してしまいます。
じゃあ、正解はなんなのかというと、
申し訳ありませんが、問題に問題があります。
それは、
lim｛log（１＋ｎ）｝＋lim｛log（１/ｎ）｝は
収束するか発散するか述べよ。
と変えたとしても、解消されません。
lim｛log（１＋ｎ）｝だけなら、「lim｛log（１＋ｎ）｝＝∞ 発散」です。
あるいは、
lim｛log（１/ｎ）｝だけなら、「lim｛log（１/ｎ）｝＝－∞ 発散」です。
しかし、
lim｛log（１＋ｎ）｝＋lim｛log（１/ｎ）｝と足してしまうと、
発散ともなんともいえなくなってしまいます。
「∞－∞で不定形になるからダメ」なのではありません。
lim｛log（１＋ｎ）｝＋lim｛log（１/ｎ）｝における「＋」に
問題があります。
「＋」は、「１＋２」のように、「数＋数」という形で使います。
ところが、lim｛log（１＋ｎ）｝とlim｛log（１/ｎ）はともに発散していて
数ではありません。（∞は数ではない！）
ゆえに、lim｛log（１＋ｎ）｝＋lim｛log（１/ｎ）｝というのは、
「＋」の使い方として不適切です。
lim｛log（１＋ｎ）｝＋lim｛log（１/ｎ）｝は
収束するか発散するか述べよ。
という問題は、いうなれば、
＋
は収束するか発散するか述べよ。
と言っているようなものです。
数でないものを足し算してしまっているのです。
「収束しない数列にlimはつけない」
のが基本です。
そうはいっても、
lim｛・・・｝＝∞
みたいな式をみたことがあると思います。
これは、数でないものを「＝」で結んでいるので、
本来、等式としては間違っています。
しかし、「数列が無限大に発散する」ことを表すために、便宜的に
このような書き方をするのです。
イメージはよくわかります。
しかし、こう書くからといって、
∞が数として認められたわけではなく、飽くまで、
「lim｛・・・｝＝∞」ひとまとまりで、「無限大に発散する」という
意味のひとつの記号であると考えておくべきものです。
ところが、
lim｛・・｝＋lim｛・・｝
は、「＋」の使い方がおかしいだけでなく、
便宜的にこういう書き方をする価値もないと思われます。
たとえば、
lim｛a_n｝＋lim｛b_n｝＝∞
などと書いたとしても、どっちの数列が発散しているのか
わからないし（a_n、b_nの片方は収束しているかも）、
あえて、このような表現をすることはないのです。
よって、便宜的に認めれば、こういう式（？）にも意味を
持たせることができますが、通常は、使っても、
lim｛・・・｝＝∞くらいまでで、lim｛a_n｝＋lim｛b_n｝などは
a_n、b_nがともに収束しない限り、意味がありません。