田村二郎『解析関数』によると、辻正次先生の言葉として、
関数論は幾何学である
が紹介されている。
関数論とは、複素関数論のことだろう。
ということは、複素数は幾何学的だということだろう。
関数論というほどものものではないが、
複素数の図形的なところが見られる問題を。
ｚ＝cos（2π/5）＋ｉsin（2π/5） とする。
このとき、１＋ｚ＋ｚ＾2＋ｚ＾3＋ｚ＾4の値を求めよ。
これらｚの冪たちは、複素平面の単位円に
正五角形の頂点として配置されている。
普通に計算して見ると、
１＋ｚ＋ｚ＾2＋ｚ＾3＋ｚ＾4
＝１＋2Ｒｅｚ＋2Ｒｅ（ｚ＾2）
＝１＋2cos（2π/5）＋2cos（4π/5）
＝１＋4cos（3π/5）cos（π/5）
＝？
となり、値がわからない。
（もしかすると、気づいてないだけで、
計算できるのかもしれないが、今の所気づかない。）
しかし、図形的に見ると、正五角形の頂点である。
対称性から、0だろう。。
力学っぽく考えれば、隣り合う力のなす角がいずれも2π/5で
あるような5方向から、同じ強さの力で引っ張ったときの合力である。
つりあうだろう。。
証明できるか？
この場合の対称性とはどういうことか考えて見ると、
それは、“回転”に関する対称である。
回転を証明にどう使うか？
正5角形の頂点をすべて足したものが０でなかったとする。
すなわち、
１＋ｚ＋ｚ＾2＋ｚ＾3＋ｚ＾4＝ｗ， ｗ≠0
この両辺を、回転させて見みよう。
2π/5だけ回転すると（つまり、両辺にe^(2π/5)を掛けると！）、
左辺の値は、正五角形の対称性より変化しない。
一方、右辺は、ｗ≠0なので偏角が変わってしまう。
これは、左辺と右辺が等しくなくなってしまったことを示している。
両辺同じだけ回転させたのなら、等しいままでないといけないから矛盾。
よって、ｗ＝0しかありえない。
そういうわけで、
１＋ｚ＋ｚ＾2＋ｚ＾3＋ｚ＾4＝０