極限はどこにあるのか？
たとえば、
lim 1/n （n→∞）
だったら、「lim 1/n＝０」だから、どこもなにもないと思ってしまうけど、
lim n （ｎ→∞）
は、「lim n＝∞」だから、これを見ると、極限とは何者なのか考える理由は十分にある。
しかし、気を惹く極限は、∞と振動
だけ（たった2種類）であって、
あとは、おなじみの数なので、
振動を極限と呼ぶのはおかしいと言われるだろう。
確かに、極限は収束したときの値のことだから、振動を極限というのはおかしい。
まあ、そうすると、∞も収束ではないから極限とはいえない。
しかし、ここでは訳あって、limが付いたものと言う意味で、全部極限と呼んでしまう。
極限のための新しい場所を考えるよりも、∞をなんとか数の仲間として扱おうとしたり、
振動は意味のないものとして、実体
をもたせなかったりする方向にむかう。
実体というとオーバーだが、要するに一つのものとして扱われていないというか...
たとえば、「無限大」は「∞」という記号があるが、振動にはそうした記号はない。
つまり、いままでの枠組み（数という枠組み）を活かそうとするのである。
こういう考えで進んでいくこともできると思う。
実際、∞は、∞－∞はダメとかいくつかの規則をつければ、
∞を数の仲間にした計算ができるようになる。
これも興味深い話だが、ここでは、
別な観点、つまり、極限と言うのは、そもそも、いままでの数とは
全然別のものなのだと考えてみるやり方を考えたい。
数がいる世界とは、ほかに、もうひとつ極限の世界というのを考える。
極限の世界にいるのは、たとえば、さっきの
lim 1/n とか lim n
あるいは、lim（－1)^n
である。
極限の世界にも、足し算や掛け算はある。
数Ⅲで、
a_n、b_nがともに収束するとき、
lim a_n＋lim b_n＝lim(a_n＋b_n)
などの公式を習うが、これをそのまま付き合えばよい。
しかも、数の世界の中で考えていたときは収束が大前提だったが、
今は、極限の世界なので、収束は気にしなくてよい。
つまり、
a_n、b_nが収束しようがしまいが、
lim a_n＋lim b_n＝lim(a_n＋b_n)
なのである。
といっても、よくわからないかもしれないので、具体例を見てみよう。
例１
lim a_n＝1、lim b_n＝2 として、
lim a_n＋lim b_nを計算してみよう。
lim a_n＋lim b_n＝lim(a_n＋b_n)＝lim c_n
である。突然c_nなる数列が出てきたが、このc_nとはどんなものだろうか？
実は、3に収束する数列ならなんでもよい。
「足し算した答えがひとつに決まらない！？」と思われるかもしれないが、
その心配はなくて、よく見てみると、
足し算の結果出てくるのは、c_nではなくて、lim c_nであるから、
足し算の結果はひとつに定まっている。（c_nはいろいろありうるが、lim c_nは3
）
極限の世界といいながら、「lim c_n＝3だから足し算の答えはひとつ」などと、
数の世界の計算をもちこんで、これは混乱した議論ではないだろうか。
確かに、このままでは混乱して、あいまいなままのところがあるが、
あまり詳しくやっても難しくなるだけなので、ここでは、
アイデアを見ることに重点をおいて、混乱したまま進むことにする。
limc_nと3は、上のように足し算を考えるときは同じものと見るし、
数の世界、極限の世界とか言ってるときは、別のものとして見ている。
数の世界と極限の世界はパラレルワールドで、
数の世界の3は、極限の世界ではlim c_nなのである。
例２
lim a_n＝∞、b_n＝(－1)^n として、
lim a_n＋lim b_nを計算してみよう。
lim a_n＋lim b_n＝lim(a_n＋b_n)
数の世界で考えていたときは、左辺は発散してしまい、答えなしだが、
極限の世界では、こういう「極限」もありである。
発散では、lim b_nは、さっきの3みたいにひとつの値と見ることとはできないので
「1と－1が繰り返す振動」というものであると見る。
なんだそりゃと思うかもしれないが、それはさっきもちょっと言ったように
∞みたいな記号がないからである。
逆にいえば、∞は記号があるから数の仲間みたいに思っているが、
実際は、「いくらでも大きくなる発散」に過ぎない。
∞という記号を、∞＝「いくらでも大きくなる発散」と定義しているのである。
同じように、∽＝「1と－1が繰り返す振動」と定義すれば、
lim(－1)^n＝∽
と書ける。
幾何の相似と同じ記号を使ったが、相似とは何の関係もない。
∞ににているからこの記号を使ってみただけである。
このように、極限を数もどきとして扱ったり、除外したりせずに、
極限を数から切り離して、独自の地位を与える考え方もある。
これは、筆者のオリジナルでもなんでもなくて、
数学をしばらくやっていると出てくる考え方である。
もちろん、本当はもっとちゃんとした議論をしなければならないし、
極限の世界と言ってもなんでも入れるわけではなくて、まだしも収束しそうな
列の極限に制限される。そういうわけで、上の話は、
実際の数学でよく行われていることとは違うものであるが、
「極限の世界に移行する」というアイデアだけは一緒のはずである。
この記事では、そのアイデアをもとに極限というものを見直したかった。
極限を習って筆者も、∞の取り扱いやその存在自体にいろいろ悩むことがあったが、
上のような極限の在り方もあるということを知っていたら、極限を違う観点から
見ることができたと思う。
よくわからないと思ってせっかく考えてみても、極限のようなものに関しては、
情報が少ないし、頭の中で堂々巡りをすることになる。
どうせ堂々めぐりするなら、ある程度一ヶ所でぐるぐるした後は、
新しい情報を得て、もっと広い範囲をまわった方が、よい方向に行きやすいと思う。
たとえば、
lim 1/n （n→∞）
だったら、「lim 1/n＝０」だから、どこもなにもないと思ってしまうけど、
lim n （ｎ→∞）
は、「lim n＝∞」だから、これを見ると、極限とは何者なのか考える理由は十分にある。
しかし、気を惹く極限は、∞と振動
だけ（たった2種類）であって、あとは、おなじみの数なので、
振動を極限と呼ぶのはおかしいと言われるだろう。
確かに、極限は収束したときの値のことだから、振動を極限というのはおかしい。
まあ、そうすると、∞も収束ではないから極限とはいえない。
しかし、ここでは訳あって、limが付いたものと言う意味で、全部極限と呼んでしまう。
極限のための新しい場所を考えるよりも、∞をなんとか数の仲間として扱おうとしたり、
振動は意味のないものとして、実体
をもたせなかったりする方向にむかう。実体というとオーバーだが、要するに一つのものとして扱われていないというか...
たとえば、「無限大」は「∞」という記号があるが、振動にはそうした記号はない。
つまり、いままでの枠組み（数という枠組み）を活かそうとするのである。
こういう考えで進んでいくこともできると思う。
実際、∞は、∞－∞はダメとかいくつかの規則をつければ、
∞を数の仲間にした計算ができるようになる。
これも興味深い話だが、ここでは、
別な観点、つまり、極限と言うのは、そもそも、いままでの数とは
全然別のものなのだと考えてみるやり方を考えたい。
数がいる世界とは、ほかに、もうひとつ極限の世界というのを考える。
極限の世界にいるのは、たとえば、さっきの
lim 1/n とか lim n
あるいは、lim（－1)^n
である。
極限の世界にも、足し算や掛け算はある。
数Ⅲで、
a_n、b_nがともに収束するとき、
lim a_n＋lim b_n＝lim(a_n＋b_n)
などの公式を習うが、これをそのまま付き合えばよい。
しかも、数の世界の中で考えていたときは収束が大前提だったが、
今は、極限の世界なので、収束は気にしなくてよい。
つまり、
a_n、b_nが収束しようがしまいが、
lim a_n＋lim b_n＝lim(a_n＋b_n)
なのである。
といっても、よくわからないかもしれないので、具体例を見てみよう。
例１
lim a_n＝1、lim b_n＝2 として、
lim a_n＋lim b_nを計算してみよう。
lim a_n＋lim b_n＝lim(a_n＋b_n)＝lim c_n
である。突然c_nなる数列が出てきたが、このc_nとはどんなものだろうか？
実は、3に収束する数列ならなんでもよい。
「足し算した答えがひとつに決まらない！？」と思われるかもしれないが、
その心配はなくて、よく見てみると、
足し算の結果出てくるのは、c_nではなくて、lim c_nであるから、
足し算の結果はひとつに定まっている。（c_nはいろいろありうるが、lim c_nは3
）極限の世界といいながら、「lim c_n＝3だから足し算の答えはひとつ」などと、
数の世界の計算をもちこんで、これは混乱した議論ではないだろうか。
確かに、このままでは混乱して、あいまいなままのところがあるが、
あまり詳しくやっても難しくなるだけなので、ここでは、
アイデアを見ることに重点をおいて、混乱したまま進むことにする。
limc_nと3は、上のように足し算を考えるときは同じものと見るし、
数の世界、極限の世界とか言ってるときは、別のものとして見ている。
数の世界と極限の世界はパラレルワールドで、
数の世界の3は、極限の世界ではlim c_nなのである。
例２
lim a_n＝∞、b_n＝(－1)^n として、
lim a_n＋lim b_nを計算してみよう。
lim a_n＋lim b_n＝lim(a_n＋b_n)
数の世界で考えていたときは、左辺は発散してしまい、答えなしだが、
極限の世界では、こういう「極限」もありである。
発散では、lim b_nは、さっきの3みたいにひとつの値と見ることとはできないので
「1と－1が繰り返す振動」というものであると見る。
なんだそりゃと思うかもしれないが、それはさっきもちょっと言ったように
∞みたいな記号がないからである。
逆にいえば、∞は記号があるから数の仲間みたいに思っているが、
実際は、「いくらでも大きくなる発散」に過ぎない。
∞という記号を、∞＝「いくらでも大きくなる発散」と定義しているのである。
同じように、∽＝「1と－1が繰り返す振動」と定義すれば、
lim(－1)^n＝∽
と書ける。
幾何の相似と同じ記号を使ったが、相似とは何の関係もない。
∞ににているからこの記号を使ってみただけである。
このように、極限を数もどきとして扱ったり、除外したりせずに、
極限を数から切り離して、独自の地位を与える考え方もある。
これは、筆者のオリジナルでもなんでもなくて、
数学をしばらくやっていると出てくる考え方である。
もちろん、本当はもっとちゃんとした議論をしなければならないし、
極限の世界と言ってもなんでも入れるわけではなくて、まだしも収束しそうな
列の極限に制限される。そういうわけで、上の話は、
実際の数学でよく行われていることとは違うものであるが、
「極限の世界に移行する」というアイデアだけは一緒のはずである。
この記事では、そのアイデアをもとに極限というものを見直したかった。
極限を習って筆者も、∞の取り扱いやその存在自体にいろいろ悩むことがあったが、
上のような極限の在り方もあるということを知っていたら、極限を違う観点から
見ることができたと思う。
よくわからないと思ってせっかく考えてみても、極限のようなものに関しては、
情報が少ないし、頭の中で堂々巡りをすることになる。
どうせ堂々めぐりするなら、ある程度一ヶ所でぐるぐるした後は、
新しい情報を得て、もっと広い範囲をまわった方が、よい方向に行きやすいと思う。