わたしたちと内積
↑社会の教科書に出てきそうなタイトルです。
数学がもっと生活に密着した存在になってほしいという
思いを込めてこのようなタイトルに・・・
内積は、なんなのかよくわからないものなので、
既知のものとの関係を見て少しでも親しみましょう～
で、まず
ｘ・ｙ＝1 ｘ、ｙは2次元ベクトルとする
が表す図形はなんでしょうか。
意外に見なれない方程式ですが、
ｙをｘにした、
ｘ・ｘ＝１
はベクトル方程式のところで出てきます。
これは円でした（2次元だからね）。（下図）
では、
ｘ・ｙの方はどうでしょう。
ｘ・ｘのときと違うのは、
文字の種類がｘとｙの2種類に増えているところです。
文字をみたら、変数なのか定数なのかハッキリさせなければいけません。
今、2次元のベクトルを考えているので、
ｘとｙ両方を変数と思うと、求める図形は4次元に描かれることになり、
それはそれで興味深いですが、面倒なので、
ここでは、ｘだけが変数で、ｙは定数（定ベクトル）ということにしましょう。
図形を求める方法は、たとえば、
その1． ｘ＝（p，ｑ）とおいて、成分ごとの方程式を導く。
その2． ｘにいくつか具体的な値（ベクトル）を代入してみて
方程式を満たす点をプロットして推測する。
があります。
“その1”のほうが厳密に図形を特定できますが、
試験じゃないので、その2をやってみましょう。
ｘになにを代入するかですが、まずは、
ｙを代入してみましょう。素直な発想でしょう。
ｙ・ｙ＝|ｙ|＾2
ｙは定数であるということ以外、特に情報がないので、
ｙ・ｙ＝１とは限らないことに注意。
求める図形の一部（点）であるためには「＝１」でないといけません。
「＝１」にするため、長さを調整しましょう。
ｙはやめて代わりにを代入すると、
（ｙ／|ｙ|＾2）・ｙ＝１
ですが、ここで、「ｙ／|ｙ|＾2」という分数みたいな書き方に関して
釈明しておきます。
まず、ｙ/|ｙ| は （1/|ｙ|）×ｙ のことです。
つまり、ｙに「ｙの大きさの逆数」を掛けたものです。
同様に、ｙ/|ｙ|＾2 は （1/|ｙ|＾2）×ｙ のことです。
ちなみに、すぐわかることですが、
ｙ/|ｙ|は、ｙと向きが同じで、大きさは1のベクトルになっています。
そういうわけで、
（ｙ／|ｙ|＾2）・ｙ＝１
より、ｙ／|ｙ|＾2は求める図形の一部であることがわかりました。
つまり、求める図形（そろそろ面倒なので以下Gとします）は
点ｙ
を通ることがわかりました。（下図）
“点ｙ”と言う書き方をしましたが、
上の図を見ると、要するにｙの先っちょ（終点）を通るということです。
ベクトルなのになぜ点という言い方をするのでしょうか？
上図のｙ’を見ると、大きさと向きが同じですから、
ベクトルとしてはｙと全く同じものです。
しかし、Gがｙ’の先っちょを通るというのはおかしい。
ベクトルは「平行移動しても同じ」という約束がありますから、
単なるベクトルでは位置を表すことはできません。
そういうときに使うのが、「位置ベクトル」という概念です。
これは、ベクトルの始点を原点Oに固定することで
平行移動を出来なくし、位置を表すのに使う方法です。
点ｙというときには、ｙを位置ベクトルとしてとらえているわけです。
そういうわけで、
取りあえず、図形Gは点ｙを通ることがわかりましたが、
他にはどんな点を通るのでしょう？
まあ、他にいろいろ代入して見てもいいんですが、
ｘ・ｙ＝１
という方程式を見て、自然な発想で出てくるのは
ｘ＝ｙ／|ｙ|＾2ぐらいのものです。
ほかはこれが定石というのは特にありません。
そこで、ちょっと工夫してみます。
（ｙ／|ｙ|＾2）・ｙ＝1を使って、1を消すと、
ｘ・ｙ＝（ｙ／|ｙ|＾2）・ｙ
となります。ｙについて整理すると、
（ｘ－ｙ／|ｙ|＾2）・ｙ＝０
内積の得意の形になりました。
内積が0なら直交です。
これならGを求めるのに図形的なイメージを働かせることが出来ます。
そうすると、なんか直線が出てきました。（上図破線）
直線を上図の位置から平行移動させて、
点ｙ／|ｙ|＾2を通るようにすると（この直線をLとする）、
点xは直線L上にあります。
【補足】上図を見ると、1／|ｙ|＾2ではなく1／|ｙ|になっていますが、
これは、誤植ではありません。
ベクトルじゃなくて“大きさ”です。
ｙ／|ｙ|＾2の大きさは、1／|ｙ|。
よって、求める図形Gは、直線L上にある（式で書くと、G⊂L）
ということになります。
逆に、直線L上の点は、方程式ｘ・ｙ＝１を満たすので、
LはGの上にあります。（L⊂G）
つまり、GとLは等しいということになるので、
求める図形は直線Lです。
方程式ｘ・ｘ＝1の表す図形は円でしたが、
ｘ・ｙ＝1の表す図形は直線なんですね。
ｙ＝ｘ＾2は放物線ですが、ｙ＝ｘは直線です。
これとどことなく似ています。（放物線と円はともに円錐曲線！）
以上より、内積には
内積＝一定 ⇒ 直線
正確には、
ｘ・ｙ＝一定 ⇒ これを満たすｘ全体はｙに直交する直線
という性質があることがわかりました。
上の話では「一定」の部分は1でしたが、
別に1じゃなくても直線は出てきます。
たとえば、ｋを0でない実数として
ｘ・ｙ＝ｋ
とすると、
ｘ・（ｙ／ｋ）＝1
です。上の話では、ｙの大きさは具体的には指定してなかったので、
ｙのところをｙ／ｋで置き換えてやれば同じ議論が成り立ちます。
で、
ｘ・（ｙ／ｋ）＝1において、ｋの値をいろいろ動かすと・・・
となります。上図はｋ＝1，2，3，4，5の場合
このとき、ｋのことをパラメータ（または日本語で「径数」）といいます。
あるいは、
ｋをｙに込めてしまって、
ｘ・ｙ＝1
においてｙの大きさを変化させると考えることも出来ます。
ｙの大きさを|ｙ|＝1，1/2，1/3，1/4，1/5と変化させると
さっきと全く同じで、
が出てきます。
このときは、ｙがパラメータです。（あえて言うなら「径ベクトル」か？）