平行四辺形の面積は
底辺×高さ
である。
しかし、
底辺×隣の辺
ではないか？と思うことはないだろうか。
あるいは、
なぜ、左図が正しく、右図が間違っているのか、説明できるか？
面積とか面がそもそも何なのか考えてみよう。
面は直線の集まりか？
つまり、下図のようなもの？
もし、こうだとすると、
底辺×高さ でも 底辺×隣の辺 でも
どっちでもいいような気がする・・・
しかし、
面とは小さい長方形の集まりだと思うと、
このようになり、
平行四辺形の面積
≒小長方形の面積×小長方形の個数
＝（小長方形の底辺×小長方形の高さ）×小長方形の個数
＝平行四辺形の底辺×（小長方形の高さ×小長方形の個数）
＝平行四辺形の底辺×平行四辺形の高さ
となるから
「底辺×高さ」が出てくる。
これに対して、「底辺×隣の辺」は自然な発想では出てこない
。
底辺×隣の辺ということは、
というであるが、ここから平行四辺形の面積に持っていくのは
難しいだろう。たとえば、
みたいに切り貼りすればいいんじゃないかと思ったりするが、
たぶん無理である。
そういうわけで、この例から、
面積あるいは面というものは、
小さな長方形を集めて出来るものであって、
直線を集めて出来るものではないということが示唆される。
なぜ直線ではだめなのかということに関して、
もう一つ、「極限」の視点を挙げておく。
数Ⅲで極限をやってないとわからないので、
まだやってない人はすみません。
直線の集まりという考え方にしろ、小長方形の集まりという考え方にしろ、
面積を求めるには結局極限を考えないといけないであろう。
小長方形の場合は、
小長方形の底辺×小長方形の高さ×小長方形の個数 ・・・★
において、小長方形の高さ→0、小長方形の個数→∞
としたときの極限 lim★ が平行四辺形の面積だといえる。
小長方形の高さと個数との間には
高さ×個数＝平行四辺形の高さ
という関係式が常に成り立つ。
（小長方形の高さと個数がともに有限のときの話！
無限のときは考えなくてよい。）
これを使って、
★＝小長方形の底辺×平行四辺形の高さ
平行四辺形の高さは、
小長方形の高さ、個数によらず一定だから
小長方形の高さ→0、小長方形の個数→∞のとき
平行四辺形の高さ→平行四辺形の高さ 
これに納得がいかない人は、極限を復習しましょう。
できればAccademia Nutsでも取り上げたい題材です。
よって、
★→小長方形の底辺×平行四辺形の高さ
となり、小長方形の考え方を採用すれば、極限を使って
「底辺×高さ」が正しいそうだということになる。
しかし、直線の考え方を採用すると、
直線の面積は0なので、有限の時点で0にしかなりません。
よって、極限をとっても0です。
0×∞は0とは限らない。
しかしそれは0が極限としての0の場合であって、
有限の時点で0の場合、たとえば、
0×ｎにおいてｎ→∞とするときは、0×ｎ→0である。
これは上のと同じ理屈である。
面積の問題は、突き詰めると、上のような話では
不十分なところもでてくるだろうが、
初めて平行四辺形の面積を習ったころに立ち返れば
上のような考え方も有用だと思う。
