あけましておめでとうございます。
センターも近いですが、
あまり気にせずいつも通り？でいきます。。
複素数の0というと、
0＋0i
です。
i の項を省略して、単に「0」とも書きますが、
複素数であるということを強調して書くと上のようになります。
単に「0」と書いてしまうと、そのままスルーですが、
「0＋0i 」と書くと、ほかの形がないのか疑問に感じます。
つまり、
0を 0＋0i 以外の a＋bi で表せないか？
ということです。（ｚは複素数）
結論から言うと、
複素数の0は、0＋0i 以外の形を持ちません。
これを目標に以下の話を進めていきましょう。
複素数の演習問題をやっていると、
実部および虚部を比較するという手法に出くわします。
たとえば、次のような問題で。
例題 ｘ＋2＋ｙi＝3－i を満たすｘ、ｙをすべて求めよ。
（解） 両辺の実部と虚部を比較して
ｘ＋2＝3， ｙ＝－1
よって、ｘ＝1，ｙ＝－1 （終）
類似物として、有理数の部分と無理数の部分を比較するというのがあります。
あるいは、恒等式の問題における係数比較もよく似ています。
これらに共通する概念を「一次独立」と呼びます。
ベクトルで出てくる一次独立と同じです。
上の例題でいうと、
「1と i は一次独立。」ということになります。
実際、「α＋βi＝0ならばα＝β＝0」なので、
ベクトルの一次独立と同じ条件を満たしています。
ここで、実部虚部比較はなぜ成り立つのでしょうか？
よく考えると、
「複素数をa＋bi（a、bは実数）の形で表す仕方は一通りしかない」
ことに由来していることがわかります。
●ｘ＋2＋ｙi＝3－i のとき、
●ｘ＋2＋ｙi と3－i は、同じ複素数を表している。
●複素数の表し方は一通りしかない。
●ゆえに、ｘ＋2＝3， ｙ＝－1
という論法です。
実部および虚部を比較するという手法を通して、私たちは暗黙のうちに
「複素数をa＋bi（a、bは実数）の形で表す仕方は一通りしかない」
ということを使っていたのです。
では、なぜ
「複素数をa＋bi（a、bは実数）の形で表す仕方は一通りしかない」
のでしょうか？
証明を試みます。
が、実は、
代わりに、
「0は、0＋0i の形にしか書けない」
を証明すれば十分です。
0を表す方法は一通り、ということさえ示せば、
どんな複素数でも、それを表す方法は一通り、
ということがわかるのです。
問題としてまとめておきましょう。
問題 0の表し方が一通りなら、どんな複素数も表し方は一通り。
（解） 複素数ｚが、ｚ＝a＋bi およびｚ＝c＋di という二通りに表せたとする。
すると、a＋bi＝ｚ＝c＋di だから、a＋bi＝c＋di が成り立つ。
移項して、a－c＋（b－d）i＝0。
よって、a－c＋（b－d）i は0であり、0の表し方は0＋0i しかないので
a－c＝0，b－d＝0。 （終）
「なぜ0＋0i なんだ！？問題文では『一通りに表せる』と言ってるだけで
その一通りが0＋0i とは限らないじゃないか！」と思った人は
細かいとこまでよく見ています。
が、その一通りは0＋0i であることが以下のようにしてわかります。
●0＋0i は0の表し方のひとつです。
●これは実数を複素数的に表すことを考えればわかります。
●よって、表し方がひとつ判明したので、
この表し方が、一通りだけあると言っていた表し方です。
というわけで、
0は0＋0i の形しかない、という話に戻ってきました。
これを証明しましょう。
定理 0をa＋bi（a、bは実数）の形で表す仕方は、0＋0iに限られる。
（証明） まず準備として次の主張を示します。
主張 0の複素共役
は0。
a＋biの複素共役を*a＋bi*で表すことにする。
つまり、a－bi＝*a＋bi*
そうすると、主張は、*0*＝0と書けます。
（主張の証明）
*0*＝*0＋0*＝*0*＋*0*＝*0*＋*0*
両辺から*0*を引くと、0＝*0* （主張の証明終）
0＝a＋bi ・・・①（a、bは実数）と書けたとする。
0＝*0* より、0＝a－bi ・・・②
①＋②より、0＝2a ∴a＝0
①－②より、0＝2bi 両辺を2iで割って ∴b＝0
よって、0＝a＋bi という形に書けたとすると、必ずa＝b＝0である。
（定理の証明終わり）
以上より、
0は一通りにしか表せないことがわかったとともに、
実部虚部比較が正当化されました。