実は小学校では、帰納法を習います。
数学的帰納法は高校で習います。
小学校の帰納法は、理科で
何度か実験したことから、一般的な法則を見出すことです。（たぶん）
帰納法という言葉は知らなくても、これは、だれでもできます。
しかし、数学的帰納法は、そんなに簡単ではないかもしれません。
わかってしまえば、簡単ですが、
だれもがすぐに理解できるわけではありません。
数学的帰納法は、演繹です。
だから、小学校の帰納法がわかっても、数学的帰納法がわかるとは限りません。
数学的帰納法は、
１） ｎ＝１のとき正しい
２） ｎ＝ｋのとき正しいならばｎ＝ｋ＋１のときも正しい
１）と２）を両方とも証明すれば、すべての自然数ｎで正しいといえる
というものです。
数学的帰納法がわからないときの疑問を挙げてみましょう。
あ） １）はいらないんじゃないか
い） １）と２）でなんですべてのｎになるのか
う） 言わんとすることはわかるし、直観的にも納得できるが、
数学的帰納法が論理的に正しいとする根拠はあるのか
他にもあるかもしれませんが、とりあえずこれだけで。
あ）について
２）が単なる文ではなくて、「ならば」を含んだ文であることを忘れていないか。
「ＡならばＢ」というのは、
「Ａが正しいときはＢも正しい、Ａが正しくないときはＢのことは知らん」
という意味なので、
問題の命題が正しくなるようなｋがなくても２）を証明することができる。
具体例として次の問題を考えよう。
問題．ｎはどんな自然数でもいいとする。
このとき、ｎに１を足すとｎ＋２になることを証明せよ。
これは明らかに間違いである。どんな自然数でも１を足せばｎ＋１である。
しかし、この問題に関して２）を証明することができる。
ｎ＝ｋのとき正しいと仮定する。
つまり、ｋに１を足すとｋ＋２になる、すなわち「ｋ＋１＝ｋ＋２」と仮定する。
すると、（ｋ＋１）＋１＝（ｋ＋２）＋１＝（ｋ＋１）＋２
となり、ｎ＝ｋ＋１のときも正しい。
よって、２）が示された。
２）が証明されたことが納得できるだろうか。
「ｋに１をたすとｋ＋２になる」という間違った命題を仮定していることが
気い持ち悪く感じられるかもしれないが、
２）というのは、「ｎ＝ｋのとき正しいならば・・・」という命題なので、
「ｎ＝ｋで正しいときはｎ＝ｋ＋１でも正しい、ｎ＝ｋで正しくないときはどうなってもかまわない」
ということであり、
仮定が現実に正しいかどうかは、２）を証明するには問題にはならない。
もちろん気持ち悪いままでは終わらなくて、この気持ち悪さを解消するのが１）である。
ｎ＝１のとき、１＋１≠１＋２だから、正しくない。
よって、全体を見れば
「ｎはどんな自然数でもいいとする。このとき、ｎに１を足すとｎ＋２になる」
は、ちゃんと証明されていない。
これが、数学的帰納法が２）だけでは不十分で、必ず１）も証明する必要があることを
示すひとつの具体例である。
い）について
これはう）とも関係してくるが、
う）に関係することは「う）について」で言うことにする。
あなたが１）と２）を証明したとする。
だれかが来て、「ｎ＝１０のとき正しいのか？」と聞いてきたとする。
あなたは、
「１）を証明したから、とりあえずｎ＝１では正しい。
すると、２）をｎ＝１のときに使って、ｎ＝２のときも正しい。
すると、２）をｎ＝２のときに使って、ｎ＝３のときも正しい。
すると、・・・」
という具合に１０回繰り返して、ｎ＝１０のとき正しいことを、
実際に１０回計算なり論証なり代わりに、２）という抽象的な“定理”を１０回適用して
示すことができる。
２）という“定理”を適用するといっても、実際は「正しい、正しい」と言うだけだから、
「適用」はほとんど形式的なものであり、
この一連の儀式をまとめて「数学的帰納法」と一言で表しているのである。
だれかが「ｎ＝１００００のとき正しいのか？」と聞いてきたら
やはり、１）が証明してあるから、２）を１００００回適用して正しいと結論できる。
１００００回も「正しい、正しい」というのは無理だとかいうことを心配することはなくて、
“原理的に”できることが大事なのであり、実際に人間ができるかどうかは問題にならない。
う）について
これは、「数（or数学）とはなんだろう」的な題名の本を図書館で借りてくれば、
詳しい説明が書いているかもしれない。
しかし、数学とはなんなのかの根源を追及するのでなければ、
とりあえず、「直観的にそうなるでしょ」という程度の理解で十分である。
実は、筆者自身が、勉強不足のせいか、う）の疑問をもっているので、
皆さんに説明することはできない。
しかし、これまでのところそれで困ったことはないし、なんかの本で、
数学的帰納法は公理とすると書いてあったような記憶がある。
気になる人は、数学基礎論がなんかの本を読んでください。