関数の和・積は、標準的には、
前回の記事のように約束しますが、
ここでは、
分配法則が成り立たない例を作るために
別の和・積を定めることにします。
まず、
和は今まで通りとしましょう。
次に、積を以下で定めます。
2つの関数 ｆ、ｇ の積 ｆ×ｇ は、ｘを入れたときの値を
（ｆ×ｇ）（ｘ）≡max｛ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）｝
で計算する関数であると約束する。
注） 記号「max｛，｝」について
max｛Ａ，Ｂ｝とは、Ａ、Ｂのうち大きい方のこと、とします。
たとえば、max｛5，3｝＝5です。
＜蛇足＞細かいことを言うと、Ａ＝Ｂのとき、「どっちが大きいんだ？」と
屁理屈を言う人がいるので、
「Ａ，Ｂのうち小さくない方」と言うのが正確なようです。
実は、これでは、困ることがあります。
たとえば、
ｆ（ｘ）＝ｘ＾2、ｇ（ｘ）＝sinx とすると、
ｇ は最大値1を持ちますが、ｆ は最大値∞？で、ｆ は最大値を持ちません。
したがって、ｆ＋ｇ も最大値∞？となり、最大値を持ちません。
あるいは、
ｘ （ｘ＜1）
ｆ（ｘ）＝cosｘ、 ｇ（ｘ）＝ ｛
０ （ｘ≧1）
とすると、ｆ＋ｇ はｘ＝1で最大値2をとるかと思いきや、
ｇはｘ＝1では、突然0になってしまうので、最大値になりません。
このような問題を解決するために、
以下の条件を課します。
関数は、閉区間［0，1]で定義された連続関数とする。
注） 「連続関数」について
なんかものものしいですが、連続関数とは、
グラフが1本の曲線であるような関数ということです。
高校ででてくる関数は基本的には、連続関数ばかりです。
連続でない関数は、上の ｇ＝ｘ（ｘ＜1），０（ｘ≧1） のような関数です。
これはグラフを描くと、ｘ＝1のところで2つに分かれています。
この条件を満たす ｆ、ｇ を足したもの ｆ＋ｇ もこの条件を満たします。
ｆ＋ｇが閉区間[0，1]で定義された関数であるのは、確かめられますが、
ｆ＋ｇも連続になるということは、ちゃんと示そうとすると、以外に大変なので、
ここでは、「ｆ＋ｇも連続になる」ことを証明なしに認めることにします。
さて、
（ｆ＋ｇ）（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）
（ｆ×ｇ）（ｘ）＝max｛ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）｝
で、関数の足し算・掛け算を定めたとき、分配法則は成り立つでしょうか。
ｆ（ｘ）＝ｘ （0≦ｘ≦1）
ｇ（ｘ）＝－ｘ （0≦ｘ≦1）
ｈ（ｘ）＝1/2 （0≦ｘ≦1）
とします。
これは、関数の条件を満たします。
字がつぶれていて、申し訳ないですが、グラフは以下の通り。
（ｆ＋ｇ）（ｘ）＝０ （0≦ｘ≦1） より、
（（ｆ＋ｇ）×ｈ）（ｘ）＝max｛０，1/2｝＝1/2 （0≦ｘ≦1）
一方、
1/2 （0≦ｘ≦1/2）
（ｆ×ｈ）（ｘ）＝｛
ｘ （1/2≦ｘ≦1）
（ｇ×ｈ）（ｘ）＝1/2 （0≦ｘ≦1） より、
1/2 （0≦ｘ≦1/2）
（（ｆ×ｈ）＋（ｇ×ｈ））（ｘ）＝｛
ｘ （1/2≦ｘ≦1）
となり、
（ｆ＋ｇ）×ｈ≠（ｆ×ｈ）＋（ｇ×ｈ）
分配法則が成り立たない例ができました。
「max」が掛け算だというのが、納得いかない人もいるかもしれません。
たしかに、なにをもって掛け算なのか、あるいはなにをもって足し算なのか
というのは、問題です。
案としては、
まず、ある二つのものから、別の一つのものを指定することを、
足し算、掛け算と呼びます。
2と3から5を指定するのが、数の足し算であり、
2と3から6を指定するのが、数の掛け算です。
これでは、足し算と掛け算の違いがないですから、
行列にならって、
足し算は交換法則が成り立つが、掛け算は成り立たなくてもいい、
ということにします。
でもこれでは、数の足し算・掛け算の場合、
「今まで足し算と読んでいたもの」を「掛け算」、
「今まで掛け算と読んでいたもの」を「足し算」と読んでもいいということになってしまいます。
そこで、
分配法則を見てみると、
（Ａ＋Ｂ）×Ｃ＝（Ａ×Ｃ）＋（Ｂ×Ｃ） ・・・①
ですが、
（Ａ×Ｂ）＋Ｃ＝（Ａ＋Ｃ）×（Ｂ＋Ｃ） ・・・②
ではないことに気付きます。
このことから、①が成り立つように、足し算（＋）と掛け算（×）を決める
というのは、よい思いつきであるように思えます。
このように、足し算および掛け算とは何かを考えると、上の考え方に従えば、
それらは、分配法則とは切り離せないもののように思えてきます。
分配法則によって、どちらが足し算で、どちらが掛け算か決めることができるからです。
今回、分配法則が成り立たない例を作りましたが、
本当は、分配法則が成り立たない時点で、
その＋、×は、足し算と掛け算のペアとは呼べないのかもしれません。