もの（数）の大小関係は、
小学校以来、
数学（算数）が取り扱ってきた対象のひとつです。
大小関係と似たものとして、
「一列に並べる」という概念があります。
「背の高いもん順」とかのことです。
人間は、精密に身体測定していれば、
背の高いから順に、一列に並べる（並ぶ）ことができます。
では、
大小関係がわかっているならば、
必ず一列に並べることができるのでしょうか。
数Ｂで、数列を勉強しますが、
数列というのは、
自然数の番号がついたもの（項と呼ぶ）の集まりです。
番号の大小を、そのまま項の大小と見なせば、
数列とは、
項を小さい者順で一列に並べたもの
ということになります。
今度は、
数列に、自然数以外の大小関係を入れた
新たな“数列”が作れないか考えてみます。
まず、整数番号を導入しましょう。
整数には大小関係があるので、一列に並べられそうです。
自然数と違うのは、「端」がないことです。
自然数のときは、最小の項（＝第１項）があるので、左端があります。
整数番号にすると、左端も右端もありません。
書くと、
・・・，a-2，a-1，a0，a1，a2，・・・
というような感じになるかと思います。
では、有理数番号はどうでしょう。
大小関係はあり、有理数は一列に並んでいます。
実際、数直線上に、有理数は一列に並んでいます。
しかし、
実際に書くとなると困ります。
・・・，a-(1/2)，a-(1/4)，a0，a1/4，a1/3，・・・
では、全然足りていません。
-1/2と-1/4の間には、-1/3がありますし、
また-1/3と-1/4の間には-4/13があり、
また・・・
というように、間がいくらでも存在するので書ききれません。
有理数番号の数列は、
大小関係はありますが、自然数番号、整数番号のときとは
どうも様子が違います。
自然数番号、整数番号は、一列に並べることができましたが、
有理数番号の場合は、
「もともと一列に並んでいるが、
バラバラになっているのを渡されて
『一列に並べてください。』と言われても、
一列に並べることはできない」
と言うような状況です。
これは、実数番号の場合も同様と想像されます。
さらに、
複素数番号だと、数直線からはみ出して、数平面になるので、
もはや、初めから並んでいるにしても、
一列ではなく、一面に並んでいることが想像されます。
数列の番号概念の拡張は、たったの整数までなのか、
と残念に思ってしまいますが、
実は、
有理数番号の数列は、
「小さいもの順で並べる」のをあきらめれば、
一列に並べることができます。
【補足】
良くある話なので、オリジナリティに欠けますが、
（図書館にいけば、もっとちゃんと説明した本がありますが、）
将棋盤を用意して、
（たしか、将棋盤は、縦に一二三四・・・、横に１２３４・・・と番号が付いていたはず）
有理数を分数の形にして、
分母に漢字、分子に算用数字を対応させて、
将棋盤のマスに書いてゆきます。
（たとえば、3/5だったら、３五のマスに書きます。）
現実の将棋盤は9×9マスなのでいつかは足りなくなりますが、
今は頭の中の将棋盤ですので、足りなくなったらどんどん付けたします。
そうすると、
どんな有理数も分数の形で書けるので、
すべての有理数（負のものは後で考える）を将棋盤のマスに書きこむことができます。
注意すべきことは、
同じ数が何回も現れうるということです。
たとえば、１一に書く1/1と、９九に書く9/9は、どちらも1であり同じ数です。
また、
負の数はどうするのかも気になりますが、
将棋盤（二次元）から一列（一次元）に並べる方法を述べた後考えます。
一列に並べる方法は以下の通り。
赤い矢印にそって、順番に並べることができます。
この図は、初めに思いついた人と自分で思いつた人は偉いですね。
上図は6までしかありませんが、頭の中では、いくらでも延長できます。
大小関係は残念ながら放棄せざるをいませんが、
とりあえず、一列に並べることができました。
大小関係はこの矢印にそって、小さいもん順で並んでいることにすればよいと
思うかもしれませんが、それでは、有理数番号にしている意味がありません。
また、有理数番号のところ以降、
「一列に並べる＝書ける」という考え方で話を進めたわけですが、
「それなら、自然数も終わりが内という意味では『書けない』んじゃないか」
という意見もあるかもしれません。
確かに書けないのですが、
「指定された数までなら一列に並べて書くことができて、
しかも、なにを指定されても大丈夫」
という意味で“書ける”と言っているのだと考えればよいでしょう。
無限を人間が扱うのですから、多少の不完全さは仕方ないです。
いつものことながら、
はじめの導入とその後の展開のつながりが、
いまいちでした。
もう少し、文章構成能力を鍛えないといけません。