開区間とは、
集合 ｛ｘ∈Ｒ｜a＜x＜b｝
ただし、a、bは実数でa＜bを満たす。Ｒは実数全体。
のことです。
（a，b）
と書くことが多いです。
また古くは、閉区間の記号をひっくり返して、
］a，b［
と書いたようです。
開区間には、以下の性質があります。
＜開区間の性質その1＞
開区間Ｅに含まれる点を任意に選ぶと、
その点を含む開区間Ｓで、Ｓ⊂Ｅを満たすものが必ず存在する。
たとえば、
開区間（0，1）に含まれる点（なんでもいいですが、たとえば）0.9
を選ぶと、0.9を含む開区間で（0，1）に含まれるものが存在します。
実際、（0.89，0.91）などは、0.9∈（0.89，0.91）および（0.89，0.91）⊂（0，1）を満たします。
0.9は（0，1）の中では割りと端っこの点ですが、もっと端っこの点を選んでも、
やはり、その点を含み、（0，1）に含まれる開集合が存在します。
このことは、証明できます。
問題1．「開区間の性質その1」を証明せよ。
また、この性質は、最大値（あるいは最小値）をもたない関数が存在することに
関係しています。
問題2．ｙ＝2ｘが開区間（0，1）で最大値および最小値を持たないことを証明せよ。
久しぶりに高校数学らしい話題になりました。
これからも、このような話題について書きたいと思います。
今回の問題は、ちょっと考えればできそうです。
また解くことよりも、それについて考えることが大事です。
が、ヒントも書いておきます。
いらなければ無視してください。
問題1のヒント 任意に選ぶ点をｘとして、ｘを含み、（0，1）に含まれる開区間を
実際に作ってみましょう。
問題2のヒント ある点で最大値をとると仮定して、関数ｙ＝2ｘがそれより大きい値を
とることを示せば、それは矛盾だから、背理法で示せる。
背理法が嫌だったら、関数ｙ＝2ｘが（0，1）上でとるどんな値に対しても、それより
大きい値をｙ＝2ｘがとれることを示せばよい。
背理法は、使えるようにしておくべきですが、乱用は良くないとされています。
直接示せるのに、わざわざややこしい背理法を使うのは、解答を見る人に対して、
親切ではないからです。
また背理法は、存在することや存在しないことを示すのに便利ですが、
存在する場合、それが具体的にどんなものなのかはわからないことが多いです。
背理法を使わない証明の場合は、証明の副産物として例を作られること（問題1とか）も
しばしばあるので、証明した定理の内容を理解しやすいです。
背理法で示したとしても、直接的な方法による別解がないかまで考えられると素晴らしいのです。