「AB＝－BA ベクトル 証明」
という検索ワードでAccademia Nutsに来られたかたがいました。
この検索ワードは少なくとも2通りに読めます。
1°A、Bをそれぞれ点として、→AB＝－→BA
（→は本来ABやBAの上にあるべきところを、例によって、
ここでは書けないので、左側に書いています。）
2°A、Bをベクトルとして、A×B＝－B×A
（ただし、×は外積。）
の2通りです。
しかし、2°は高校数学の範囲を超えているし、
外積を使う人、したがって、外積の定義を知っている人ならば、
容易に証明できると思われるので、ここでは、
2°ではなく、1°の方だと思うことにします。
教科書（ただし筆者が高校のとき使っていたの）を見てみると、
ベクトルの章の最初に
「ベクトルとは向きをもった線分のことです（ベクトルの定義）．．．云々」
と書いてあって、その次に、
「ベクトル→aと大きさが等しく向きが反対のベクトルを
→aの逆ベクトルといい、－→aで表す。」
と書いてあります。
つまり、ここで、
『大きさが同じで向きが反対のベクトルを
もとのベクトルの「逆ベクトル」と呼ぶことにしよう。
そして、逆ベクトルはもとのベクトルに「－」をつけて表すことにしよう。』
と約束したわけです。
この「」はその上の「」と違って、完全に引用ですが、
数学的定義を述べているだけであり、ほかの本でも似たようなことが
書いてあるので、出典は省略します。
この約束に基づいて、→AB＝－→BA を証明します。
まず、
→ABとは、2点A，Bを結ぶ線分で、向きとして「AからBの向き」を
もっているもののことです。
また、
→BAとは、2点A，Bを結ぶ線分で、向きとして「BからAの向き」を
もっているもののことです。
次に、
→BAの逆ベクトルとはなんであったかというと、
「→BAと大きさ同じで向きが反対のもの」ということになります。
（青字の→aに→BAを当てはめて考えればよい。）
ということは、→ABは、→BAの逆ベクトルです。
大きさは線分ABの長さであり、向きは反対だからです。
一方、
青字によれば、逆ベクトルは、－をつけて表すので
→ABのことを、－→BAと書きます。
ゆえに、
→AB＝－→BA
です。 （証明おわり）
いまいち、ピンとこなかった場合は、
－→BAというのは、→BAの逆ベクトルなるものに付けられたラベル（名前）であり
（「－→BA」で1つの記号であって）、
図系的な意味は特にないんだと思って
（「AからBへ向かう矢印・・・」などの図形的意味は一旦わきにおいて）、
のところからもう一度考えて見てください。
「→BAの逆ベクトルが具体的になんなのかわからなくても、
とりあえず、逆ベクトルを表す記号（名前、ラベル）を決めておくと便利なので、
－→BAと書く事にしよう。」
と青字で約束しました。未知数をとりあえずxとおくことに似ています。
「→BAの逆ベクトルとしては、具体的には→ABというものがあります。」
これは具体的に点A，Bという図形を考えることにしたため、わかったことです。
すると、
→ABは逆ベクトルですから、「とりあえず－→BAと呼んでいたもの」と一致し、
→AB＝－→BAと書けるわけです。
～ ～ ～
ちなみに、
→AB＝－→BA は、上のようにして証明できますが、
→a＝－→a は証明できません。
（青字の約束（定義）そのものだからです。）
今回は、「具体的なもの」と「具体的にはわからないのでとりあえず付ける名前」
という根本的なところが要点だったので
わかりにくい説明になってしまったかもしれません。すみません。