ベクトル乗するとどうなるのでしょう？
まず、
「□乗」 を 「□の足し算・引き算 or □の内積」
に翻訳できないか考えます。
§1． 指数関数
□乗 といえば、指数関数。
指数関数 y＝ｅ＾x を、xの足し算or引き算or内積 に書き直せるか？
よくわかりません。
§2． 対数関数
□乗 といえば、指数関数。 指数関数といえば、対数関数。
普通に考えると無理ですが、実は、微分すると
d/dx（log x） ＝ 1／x ―①
となり、分数になります。
割り算なので、足し算でも引き算でも内積でもありませんが、
指数関数が微分しても（積分しても）指数関数のまま（三角関数もまま）なのに
比べて、おしいところまで来ています。
§3． 分数
分数を、足し算・・・（以下省略） に書き直せないでしょうか。
無限等比数列があります。
1／1＋x ＝ 1＋（-x）＋（-x）＾2＋（-x）＾3＋・・・
＝ 1－x＋x＾2－x＾3＋・・・ ―②
§4． 分数と対数を結びつける
①でxのかわりに1＋xとすると、
d/dx｛log（1＋x）｝ ＝ 1／1＋x
②を代入
d/dx｛log（1＋x）｝ ＝ 1－x＋x＾2－x＾3＋・・・ ―③
§5． 積分
③の両辺を積分して、logを出します
が、積分範囲には注意が必要です。
まず、logxが意味を持つような範囲で積分しましょう。
0＜x
そして、1－x＋x＾2－x＾3＋・・・ が意味を持つような範囲で積分しましょう。
等比級数が収束する条件から、
0≦x＜1
二つの条件が同時に成り立って初めて、③の積分は意味を持つので、
積分範囲は、
0＜x＜1
に収まらねばなりません。
0＜ε≦X＜1 なる ε、Xをとります。
③の両辺を、εからXまで、xについて積分すると、
log（1＋X）－log（1＋ε） ＝ ∫（1－x＋x＾2－x＾3＋・・・）dx ―④
（ただし、∫はεからXまでの定積分）
です。
§6． ベクトル乗
さて、ここからは、類推です。
インチキくさいと思われるかもしれませんが、
新しいものをつくるには、こういうことも仕方なでしょう。
もし間違っていることがわかれば、また別の方法を考えればよいのです。
③のxにベクトルを代入します。
④はまだ使いません。§5は後のための準備です。
d/dv｛log（1＋v）｝ ＝ 1－v＋v＾2－v＾3＋・・・
vはベクトルです。矢印を付ける代わりに、太字にして、ベクトルを表します。
ところが、上の式はおかしい。
（イ） 1＋vでは、実数＋ベクトルとなってしまいます。
（ロ） ベクトルのなんとか乗とはなんでしょうか？内積？（外積？）
（ハ） ベクトルで微分するとはなんなのでしょうか？
まず、ロ。
ベクトルのかわりに、よく似てるやつ―行列を使います。
（a，b） なら （ a -b で取り替えます。
-b a ）
2次元ベクトルに限定して、話を進めます。
なんでこうするのかには、ふか～い訳があります。
今は、時間がないので、また今度。
次は、イです。
1は単位行列Eにすればいいや。
1と（1，0）は同じといってるようなもんですが、
まあ、とりあえず、これでやってみましょう。
そうすると、
d/dv｛log（E＋M）｝ ＝ E－M＋M＾2－M＾3＋・・・
最後にハですが、
ベクトルで微分というのは、聞いたことないですが、積分はあるんですね。
高校では聞かない？
物理の仕事は、ベクトルについて積分しています。
W ＝ ∫F・dx ＝ ∫（f，g）・（dx，dy） ＝ ∫fdx＋∫gdy
Wは仕事、Fは力、xは変位、・は内積です。
計算の仕方（実数の積分への直し方）も書いておきました。
今日は、こんなものかと認めてもらいます。
というわけで、積分すると
log（E＋M） ＝ ∫（E－M＋M＾2－M＾3＋・・・）dv ―⑤
もうめちゃくちゃですね。
④で積分範囲とか、ごちゃごちゃいいましたが、
ベクトルで積分する場合、範囲（ある実数からある実数まで）ではなく、
経路（どんな道を通るか）で積分します。
というのも、
実数で積分する＝数直線上のある線分に沿って積分
でしたが、ベクトルは2次元（実数は1次元）ですので、
ベクトルで積分する＝平面上のある曲線に沿って積分
となるからです。
そして、さっきの物理話では、ベクトルをベクトルで微分していますので、
○乗を計算したら、M＾○はベクトルに直し、直したのを積分します。
それなら、log(E+M)も、E＋Mを計算したあとで、ベクトルになおしましょう。
§7． 計算例
では、具体的に計算してみましょう。
2の（2，1）乗を計算してみます。（実数のベクトル乗です！）
⑤の右辺を log（（2，1））にしたいので、
log（（2，1））＝log（（ 2 -１
-1 2 ））
＝log（（ 1 0 ＋ （ 1 -１
0 1） -1 １ ））
より、M＝（ 1 -1 です。
-1 1）
M＾2＝（ 2 -2
-2 2 ）
M＾3＝（ 8 -8
-8 8 ）
M＾n＝（ 2（n-1）＾2 -2（n-1）＾2
-2（n-1）＾2 2（n-1）＾2 ）
よって、
E－M＋M＾2－M＾3＋・・・＝？
おおっと、収束しないぞ！
「級行列が収束する⇔足して出来た行列の成分（級数になる）がそれぞれ収束する」
なのですが、足してできる行列の（1，1）成分は、
1＋Σ2×（-1）＾n×（n-1）＾2 （Σはn＝1から∞までの和）
なのですが、Σの部分は振動します。nが大きくなるごとに
加えられる数（2（n-1）＾2）は＋と－が交互に来て、
しかも絶対値がどんどん大きくなるので、級数は振動します。
下図の赤点のy座標が加えられる数を表します。
実は、この図で振動しているからといって、
級数も振動するとは限りません。
もっといい図があるのかもしれませんが、
今日は時間がないので、もう書きません。
1／1＋x ＝ 1－x＋x＾2－x＾3＋・・・ ―②
が収束するためには、xの絶対値が十分小さいことが必要でした。
ベクトルでやるにしても、ベクトルの絶対値が十分小さくないといけないのでしょう。
次回は、小さいベクトルを使って計算してみたいと思います。
また、積分の経路についても触れていないので、次回はベクトルで積分するとき、
どんな曲線に沿ってなのか？にも気をつけられるようにしたいですね。