検索キーワードを知ることができます。
そのデータから。。
ちなみに検索するときは「数学」と入力して変換する（スペースを押す）と
いろいろな記号がでてきます。
P(A∪B)≦P(A)+P(B)
を証明します。但し、P(A)は事象Ａが起こる確率とする。
まず、記述を簡単にするために、記号を定義します。
定義
集合Ａに含まれ、かつ集合Ｂに含まれない元の集合を
Ａ－Ｂと書く。
記号で書くと
Ａ－Ｂ＝｛ｘ｜ｘ∈Ａ かつ ￢（ｘ∈Ｂ）｝
∈に斜線を引いたものが、「含まれない」の記号なのですが
ここでは書けないので、「￢（ｘ∈Ｂ）」というように書きました。
￢は否定の意味です。
これは、「ｐ≠ｑ」を「￢（ｐ＝ｑ）」と書いているようなもんです。
論理記号と数学記号を混同したよろしくない書き方ですが
仕方ありません。
たとえば、サイコロの目（1,2,3,4,5,6）の集合をＡ、偶数の目（2,4,6）の
集合をＢとすると、奇数の目（1,3,5）の集合はＡ－Ｂと書けます。
すると、
A∪B＝(A-B)∪(A∩B)∪(B-A)
ですから確率の加法定理より、（詳しくは加法定理のところを参照）
P(A∪B)＝P(A-B)＋P(A∩B)＋P(B-A) ・・・①
一方、Ａ＝（Ａ－Ｂ）∪(Ａ∩Ｂ)、Ｂ＝（Ｂ－Ａ）∪(Ａ∩Ｂ) に注意して、
P(A)＋P(B)＝｛P(A-B)＋P(A∩B)｝＋｛P(B-A)＋P(A∩B)｝
＝P(A∪B)＋P(A∩B) （∵①）
≧P(A∪B) （∵P(A∩B)≧０）
となります。
検索された方は、こんなもんで納得できるでしょうか。
集合の計算は、図を書いて直感的に理解できますが、
式だけから考えることもできます。
たとえば、Ａ＝（Ａ－Ｂ）＋Ａ∩Ｂ を示すには
Ａ⊃（Ａ－Ｂ）＋Ａ∩Ｂ ・・・② と Ａ⊂（Ａ－Ｂ）＋Ａ∩Ｂ ・・・③
を示せばよろしい。
②を示します。
簡単のため、Ｔ＝（Ａ－Ｂ）∪(Ａ∩Ｂ) とおきます。
ｘ∈Ｔ ⇒ 「ｘ∈Ａ－Ｂ または ｘ∈Ａ∩Ｂ」
i) ｘ∈Ａ－Ｂ のとき
ｘ∈Ａ－Ｂ ⇔ 「ｘ∈Ａ かつ ￢（ｘ∈Ｂ）」
⇒ ｘ∈Ａ
ii) ｘ∈Ａ∩Ｂ のとき
ｘ∈Ａ∩Ｂ ⇒ ｘ∈Ａ
ですから、
ｘ∈Ｔ ⇒ 「ｘ∈Ａ－Ｂ または ｘ∈Ａ∩Ｂ」
⇒ 「ｘ∈Ａ または ｘ∈Ａ」
⇒ ｘ∈Ａ
となり、⊂の定義（お手元の教科書参照）より、
Ｔ⊂Ａ つまり②
が成り立ちます。
③は省略します。