方程式 ｆ（ｘ，ｙ）＝０，ｇ（ｘ，ｙ）＝０ が与えられたとき、
それらの解 （つまり方程式をみたす（ｘ，ｙ）） をｘｙ平面（ｘｙ座標）に描くと、
１つずつ、合計２つの図形が得られます。
そして、その2つの図形が共有点を持つとすると、
方程式
ｆ（ｘ，ｙ）＋ｋｇ（ｘ，ｙ）＝０ （ｋは定数） ・・・①
は、その共有点を通る図形の方程式である、と聞いたような気がします。
ｆ（ｘ，ｙ）＝０やｇ（ｘ，ｙ）＝０は、全く一般の図形を表しています。
つまり、ｆ（ｘ，ｙ）＝０やｇ（ｘ，ｙ）＝０は、ｘｙ平面上
のいかなる図形でもよいということです。
「ｘｙ平面上の図形」とは「ｘｙ平面にある図形」という意味です。
「どこどこにある・・・」という意味で「どこどこ上の・・・」という言い方をします。
英語にすると "figures on the xy-plane" となるのかどうかは知りませんが、そんな感じです。
ここでもし、一般の図形を表すのに、方程式ｙ＝ｆ（ｘ）を使うと、
たとえば、下図のようなｙ軸に平行な図形（直線）ｘ＝１が漏れてしまします。
ｘ＝１はどうやったって「ｙ＝（ｘの式）」という形には書けないので。
というわけで、ｆ（ｘ，ｙ）＝０即ち「ｘとｙの式＝０」という形を使うのです。
上の図形なら、ｘ＋０・ｙ－１＝０と書けますから、確かに大丈夫です。
一般化がうまくいっているのを確かめたところで
①をもう一度見てみるとちょっと変なところがあります。
ｆ とｇ がともに一般的なら、ｆ とｇ のどっちが優れているということはなく
ｆ もｇ も平等のはず・・・
ならば、①でｇ だけに定数ｋがついているのは不平等ではないのか。
この手の問題を解いたことのある人なら知っていいるように
①では、図形ｇ（ｘ，ｙ）＝０を表すことができません。
図形ｇ（ｘ，ｙ）＝０は、
2つの図形ｆ（ｘ，ｙ）＝０，ｇ（ｘ，ｙ）＝０の共有点を通る図形の一つ
ですから、①で表せてほしいのに！
この場合、定数をｆ につけた
ｈｆ（ｘ，ｙ）＋ｇ（ｘ，ｙ）＝０ （ｈは定数） ・・・②
を使うことになります。
この辺の話を考慮すると冒頭の命題は次のようになります。
方程式 ｆ（ｘ，ｙ）＝０，ｇ（ｘ，ｙ）＝０ が与えられたとき、
それらの解をｘｙ平面（ｘｙ座標）に描くと、合計２つの図形が得られます。
そして、その2つの図形が共有点を持つとすると、
方程式
ｆ（ｘ，ｙ）＋ｋｇ（ｘ，ｙ）＝０ （ｋは定数） ・・・①
は、その共有点を通る図形のうち、
ｇ（ｘ，ｙ）＝０以外の図形を表すことができる
また、次のようにもいえます。
方程式 ｆ（ｘ，ｙ）＝０，ｇ（ｘ，ｙ）＝０ が与えられたとき、
それらの解をｘｙ平面（ｘｙ座標）に描くと、合計２つの図形が得られます。
そして、その2つの図形が共有点を持つとすると、
方程式
ｈｆ（ｘ，ｙ）＋ｋｇ（ｘ，ｙ）＝０ （ｈ，ｋは定数） ・・・③
は、ｈとｋの値をそれぞれうまく選べば、その共有点を通る任意の
図形を表すことができる
「任意の・・・」は「あなたの好きな・・・」、「どんな・・・でも」、「すべての・・・」
といった意味です。
では、①～③のような方程式が、共有点を通る図形を表すことを確かめましょう。
①を使って考えます。
ここで確かめるべきことは、
ⅰ） 方程式①は、ｋをうまく取れば、ｇ（ｘ，ｙ）＝０以外などんな図形でも表す
ⅱ） 方程式①が、ｆ（ｘ，ｙ）＝０とｇ（ｘ，ｙ）＝０の共有点を解に持つこと
の２つです。これは青字の一番下の行の言わんとしていることを２つにわけたものです。
まず、ⅰ）です。
とりあえず、①がなんらかの図形を表していることを確かめましょう。
①の左辺は、「（ｘとｙの式）＋（ｘとｙの式の定数倍）」ですから、
つまり、「ｘとｙの式」です。
よって、①はｘとｙの方程式ですから、解はｘとｙの組（ｘ，ｙ）でありｘｙ平面上に書くことができます。
従って、方程式①は何らかの図形を表します。
次に、ｇ（ｘ，ｙ）＝０以外などんな図形でも表すことを確かめましょう。
ｆ（ｘ，ｙ）とｇ（ｘ，ｙ）は一般の、つまりｘとｙの式ならどんなものでもいいから、
ｆ（ｘ，ｙ）＋ｋｇ（ｘ，ｙ）は、ｘとｙの式ならどんなものにもなりえる。
しかし、これではⅰ）を示せていない。
確かに、ｆ（ｘ，ｙ）＋ｋｇ（ｘ，ｙ）は任意のｘとｙの式になりえるが、
それは、ｆ（ｘ，ｙ）とｇ（ｘ，ｙ）を変えるのに伴って、任意のｘとｙの式になれるのであって、
ｋを変えるのに伴って、任意のｘとｙの式になるとまでは言えていない。
ⅰ）が言わんとしているのは、青字の最下行ですから、青字の前半も考慮して、
ｆ（ｘ，ｙ）とｇ（ｘ，ｙ）が与えられて、（つまり、ｆ（ｘ，ｙ）とｇ（ｘ，ｙ）は決めてしまってから）、
ｋの値を変えることで、ｆ（ｘ，ｙ）＋ｋｇ（ｘ，ｙ）が任意のｘとｙの式になる、ということである。
例をフローチャートに書くと、
（ ｆ（ｘ，ｙ）とｇ（ｘ，ｙ）は、ｘとｙの式ならどんなものでもよい ）
↓
＜ じゃあ、ｆ（ｘ，ｙ）＝1＋cos（2ｘ）＋ｘ－ｙ，ｇ（ｘ，ｙ）＝1－cos（2ｘ）－ｙ にしよう ＞
↓
（ ｋは任意の定数 ）
↓
＜ じゃあ、ｋ＝1にしよう。あれ、半角の公式を使うと
ｆ（ｘ，ｙ）＋ｋｇ（ｘ，ｙ）＝2cos^2（ｘ）＋2sin^2（ｘ）＋ｙ＝2＋ｘ－2ｙより、
ｙ＝ｘ/2＋1
だ。波の共有点を通る直線が出てきた！ ＞
という具合です。（なんかフローチャートのためだけに大げさなことになったけど。。）
そして、任意の図形を表せるとまでは言えない（表せるかもしれないが証明できてない）どころか、
ある図形を表すことができない例（←つまり、上の否定）があります。
ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ－ｙ＋1，ｇ（ｘ，ｙ）＝－ｘ－ｙ＋1とすると、共有点（0，1）を通る円ｘ^2＋ｙ^2＝1が
存在するがｋをどんな値にしても、ｆ（ｘ，ｙ）＋ｋｇ（ｘ，ｙ）は2次式になりえないから、
したがって、円を表すことができない。
そういうわけで、
青字の③が出てくる方は「任意の」は誤りで、「与えられたｆ（ｘ，ｙ）とｇ（ｘ，ｙ）で作れる限りの」である。
その上の青字は単に「ｇ（ｘ，ｙ）＝0以外の図形」といっており、
「ｇ（ｘ，ｙ）＝0以外の任意の図形」とはいっていないので、
「～任意の図形」が作れるわけではないと読めるが、
見方によっては、「～任意の図形」が作れるとも読めるので、
ここでは、丁寧に
「ｇ（ｘ，ｙ）＝0以外の図形であり、与えられたｆ（ｘ，ｙ）とｇ（ｘ，ｙ）で作れる限りの図形」としておこう。
ⅱ）は教科書等にかいてあることだし、ずいぶん長くなってしまったので、省略させて頂きます。