位置ベクトルの極座標的性格
ベクトルとは、向きと大きさのある量のことです。
位置とは、あるものが自分以外のものに対して持つ空間的関係です。
言葉の意味がわからないときは、定義を確認しましょう。
上のベクトルの定義は数Ｂででてくるものです。
位置の定義は今筆者が作りました。
位置とは、ものがある場所のことですが、
どこにあるのかを言おうとすると、そのものと、他に目印になるのもが要ります。
例えば、鉛筆の位置を言うとき、
「鉛筆がある」
と言うだけでは、位置をいったことにはなりません。
鉛筆が存在することを言っただけです。
「鉛筆が机の上にある」
というように、鉛筆の他に机にも言及しなければなりません。
このように、位置とは、他のものと比べてどうかという性質なのです。
ただ、この性質は空間的なものに限定すべきでしょう。
単に「他のものと比べてどうか」では、
料理のおいしさや、背の高さなども「位置」になってしまいそうです。
もし、ならないなら、不当に「位置」になってしまう例を探してみてください。
筆者は、良い例が思い浮かびません。
位置ベクトルで言うところの位置は、点の位置です。
ふつう、机役には原点を使います。
すべての点は原点に比べてどういう性質をもつかによって、
その位置を表現されているのです。
簡単な例は、数直線です。
数直線上の点の位置は、「原点との距離」という性質により、identify
されています。
identify：その人がだれであるかを確定する
ｘｙ平面では、少し複雑です。原点からの距離だけではidentifyされません。
つまり、原点からの距離が同じ人（点）が何人もいて、
「この人！」と特定できないのです。
そこで、座標が導入されます。ｘ軸、ｙ軸を張って、
ｘ軸方向にいくつ、ｙ軸方向にいくつ進んだところ
という性質でidentifyします。
そうなると、原点にｘ軸とｙ軸も含めて机なのかな。
こうして考えてみると、数直線は軸が１本しかない場合なんだ
と気づきます。このことから、
平面を超えて空間（立体）では、位置は軸３本で表せるのではないか
軸の本数は次元と一致しているんじゃないか
4次元の住人をidentifyするには、4本軸がいるんじゃないか・・・
と連想が進んでいきます。
話は2次元に戻って、
平面上での位置を表すにはｘｙ座標の他にｒθ座標なるものがあります。
またの名を極座標とおっしゃいます。（というかｒθ座標なんて言い方は誤解を招くから普通しない）
極座標でもやはり原点を机にします。そして、軸の代わりに
原点から半直線を伸ばし固定します。（原点が固定されてるのは暗黙の了解）
原点＋半直線 で机です。
位置を決めるためにまず、原点からの距離を測ります。これをｒとします。
これだけでは、identifyできないので
さきほどの半直線から反時計回りに何radの方角にあるか測ります。これをθとします。
こうして、ｒとθによって位置が決定されるのです。
これも座標ですので（ｒ，θ）
と書きたいのですが、これは誤解を招く。
原点からｘ軸方向にｒ、ｙ軸方向にθだけ進んだ位置と誤解される。
これは、ｒθ座標といって誤解を招く理由でもあります。
そこで、Accademia Nutsでは極座標を〈ｒ，θ〉ととんがり括弧で書いて区別することにします。
「北西の方向にイノシシがいるぞ」
と言えば、自分を原点にして、自分と北極を結ぶ方向に半直線をとった極座標です。
「烏丸四条に集合だ」
とか、
「四５歩」
とかなら、ｘｙ座標です。
極座標で、平面上の位置が表せるということは
距離（ｒ）と向き（θ）によって、平面上の位置が表せることになります。
すると、ベクトルはまさに位置を表すのに使えるとわかります。距離は大きさですから。
ベクトルの成分表示なるものを知っている人は、
ベクトルは成分表示の観点からはｘｙ座標と関係ありそうなのに
定義では極座標なんだなと変に思うかもしません。
しかし、こういう事態は当然です。というのも、
ｘｙ座標にせよ、極座標にせよ平面の位置を表すという点では同じなのですから。
ところで、極座標では原点のことを極と言います。
極を軸にして（座標軸ではなく支点という意味で）、動径をぶん回しているイメージですね。
灯台か、レーダーみたいだ。