皆さんは「加法定理」と聞いて何を思いますか。
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
でしょうか？
この三角関数の加法定理はまず出てきますよネ。
もうひとつ出てくるでしょうか。
・・・確率の加法定理です。
事象Ａ、Ｂが互いに排反であるとき
Ｐ（ＡＵＢ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）
当たり前に使うので、もはや定理であるとか意識しませんが、
教科書（少なくとも数研の数Ａ／010）には載っています。
三角加法定理は、昔東大の入試で「証明しろ」というのが出たそうです。
高校の頃先生がcosの方だけ頑張って証明してくださった覚えがあります。
筆者自身でやったときはそう簡単には解けませんでした。
では、「確率の加法定理を証明しろ」って言われたらどうでしょう。
三角よりはずっと簡単そうですが、こういう当たり前っぽい所を穿つのがAccademia Nutsの
目的ですので、証明します。
ですがその前に、
入試関連で、センターの話を。
今年もセンターが近づいてきました。
高校数学の集大成とはなりませんが、センターは重要でしょう。
去年のセンター（数ⅠＡ）を解いたときに確率で危うく引っかかりそうになったのですが、
確率の基本を思い出すことで復活することができました。
確率で行き詰ったら、基本に帰ると解決するかもしれません。
確率の基本とは
Ｐ（Ａ）＝（事象Ａの起こる場合の数）÷（起こりうるすべての場合の数）
です。「確率わからんなぁ」と思って図書館をさまよっていると、ラプラスの「確率の哲学的試論」が目に留まりました。その最初の方にこの基本が書いてあって、なんか重要そうに思えたのでした。
教科書に書いてあると、「なんだ小学校から知ってるよ」と思っちゃいますが、なんか岩波文庫とかに書いてあると有難い気がします。あんまりいいことではないけれど。。
それで、改めて基本の大切さを実感したものの、問題を解くヒントにはならないまま
数年が経過し、去年のセンターになったわけです。
まあ、確率はすべてここに集約されるのです。そもそもこれが確率の定義ですから。
で、加法定理です。
皆さん、センター話の間に証明はできたでしょうか？
ともかくも、証明します。
簡単のため、
（起こりうるすべての場合の数）＝ｎ（Ｕ）
と書く。
確率の基本（というか定義）より
Ｐ（ＡＵＢ）＝（ＡＵＢの起こる場合の数）÷ｎ（Ｕ）
今、ＡとＢは排反であるから
（ＡＵＢの起こる場合の数）＝（Ａの起こる場合の数）＋（Ｂの起こる場合の数）
よって、
Ｐ（ＡＵＢ）＝（Ａの起こる場合の数）÷ｎ（Ｕ）＋（Ｂの起こる場合の数）÷ｎ（Ｕ）
右辺の各項に確率の定義を適用して
Ｐ（ＡＵＢ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ） （おわり）
当たり前のように使っている加法定理ですが、バッチリ
確率の定義に裏打ちされているのでした。
掛け算の方の定理も良かったら証明してみましょう。
つまり、
互いに影響しないの試行Ｓ，Ｔを行うとき、
Ｓでは事象Ａが起こり、Ｔでは事象Ｂが起こるという事象をＣとすると
Ｐ（Ｃ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）
を証明してみましょう！
上はほぼ数研数Ａ／010の写しですが、「独立な試行の確率」という名前だそうです。
「乗法定理」とは言わないんですネ。なんでだろ？