今日は算数です。
分数の割算は分母分子をひっくり返して掛け算すればよろしい
というのは、小学校で習うことですが、割り算を感覚的に納得できていますか。
筆者は、習った当時は機械的に計算方法を覚えて満足していたように思います。
「なんで、ひっくり返して掛け算することが割算の代わりになるのか」
を身をもってわかったのは、もう少し後でした。
ということで、
分数の割算の掛け算による解法、つまり
１ ２ １ ５ ５
― ÷ ― ＝ ― × ― ＝ ―
３ ５ ３ ２ ６
の類について考えましょう。
まず、感覚的に納得するとはどういうことか考えます。
「感覚的に納得」なる言葉をして、筆者の言いたいことは
次のようなことです。
４×３
を計算するとき、私たちは九九を
しさん じゅうに
と唱え、答え １２ を得ます。
しかし、これではなぜ１２なのか、あるいは掛け算とは何なのかは
よくわかりません。
つまり、納得できていないのです。
そこで、掛け算とはそもそもなんなのか、小学校で習ったことを
思い出してみると、
ｍ×ｎ とは、ｍ を ｎ 個足したものである。つまり、
ｍ×ｎ ＝ ｍ ＋ ｍ ＋ ・・・ ＋ ｍ
↑ｍ は全部で ｎ 個ある
である。
となります。ただし、ｍ、ｎ は何かしらの自然数とします。
これに従うと、
４×３ ＝ ４＋４＋４ ＝ ８＋４ ＝１２
となり、掛け算という演算の仕組みがわかりながら
答えが得られます。
このような、原理的にわかることを「感覚的に納得」と言い表しました。
「感覚的に」というのは、あまりよくなかったかもしれません。
今更ですが、「原理的に」という方が正確でしょう。
心から納得できるという意味で、「感覚的に」言ったのでした。
さて、長くなりましたが、割り算の話です。
分数で割るとはどういうことなのか、考えてみると
よくわかりません。
自然数で割ることから考えましょう。
１２÷３＝４
とは、どういう意味でしょうか。
小学校的に、自然数とは「ものの個数」であるととらえましょう。
世俗的には、
１２個のリンゴを３人の子どもに平等に分けると
１人４個もらえる。
となるでしょう。意外に「平等に」というのが必要なのです。
割算とは、ただわけるだけではないのですね。
ところが、次のようにも考えられます。
１２個のリンゴを３つずつ子どもたちに配っていくと
４人目までがもらえる。
筆者は前者の方が自然なとらえ方だと思いますが、教科書か
何かで後者の方もでてきたような気がします。
それはいいとして、前者の定義によって分数の割算を分析することにします。
が、だいぶ長くなったので紙面の都合上、つづきは次の枠に書きます。