0.999・・・ とは何なのかでしょうか
もっと焦点を絞っていうと、
1＝0.999・・・ ・・・
は正しいのか？
これを考えることにします。
は
1
― ＝ 0.333・・・
3
の両辺に3を掛けると
1＝0.999・・・
となる。
という主張から、出てきます。
しかしながら、
1＞0.999・・・
だからこの等式はおかしいという人もいるでしょう。
けれども、青字の主張も一見正しそうです。
わからないときは、曖昧なところを追及するとよいものです。
曖昧なところや問題となりそうなところは人それぞれに思いつくでしょうが、
青い主張にも赤い主張にも共通する曖昧ポイントは
0.xxx・・・
という部分でしょう。すなわち、自然数xが永遠に続く小数（いわゆる循環小数）が怪しい。
特に「・・・」の部分は不安要素です。
どんな不安かと申しますと
0.333・・・
は小数点以下に3が繰り返す訳だけど、最後はどうなるのか？ということです。
「永遠に3が続いて終わりがない」
というのがまっとうな答えでしょう。最後というものはないのです。
では、そのような変な数に、掛け算を適用できるのでしょうか？
議論には前提や基本概念の把握が不可欠です。
掛け算とは何なのか考えておきましょう。
といっても、ここでは、まず
（有限桁の小数）×3
という形の掛け算を扱います。
注）ここで有限桁の小数とは0.364とか2.888のことです。
0.333・・・や3.141592653・・・みたいなどこまでも続くヤツは違います。
小学校で習った通り、（有限桁の小数が）１ケタなら、九九を適用して答えが得られます。
しかし、２ケタ以上なら、「繰り上がり」も考慮しないといけません。
よって、筆算の手順を踏めば万全であります。
0.333・・・×3 ・・・
に繰り上がりはあるでしょうか。
各桁ごとに見ると3×3ですから、繰り上がりはないようです。
筆算は一番小さいケタから計算していきますから、
は計算できなさそうですが、繰り上がりがないので
＝0.999・・・
とできます。
算数で議論しましたが、「・・・」に特に問題は見つかりませんでした。
ということで、数学の登場です。（無理やりか）
「・・・」とは極限のことだから、まず第n項を考えて、最後にｎ→∞とする作戦で行きましょう。
0.999・・・を、数列：0.9, 0.09, 0.009, ・・・ の各項を足した無限級数と考えます。
第n部分和は
0.999・・・9 ＝ 0.9 + 0.09 + 0.009 + ・・・ + 0.00・・・09
-1 -2 -3 -n
＝ 9×（10 +10 +10 + ・・・ +10 ）
n -k
＝ 9Σ10
k=1
両辺の極限を取ると、
n -k
0.999・・・ ＝ lim 9Σ10
n→∞ k=1
＝ 9× 0.1
1-0.1
＝ 1
となります。結局１なのです。
結果的に、1＞0.999・・・ は正しくないのですがなぜでしょう。
筆算で考えましょう。
すると、「繰り下がり」があります。
繰り下がりを考慮した計算をするには一番小さい桁から筆算を開始しなければなりませんが、
先ほど述べたように0.999・・・には「終りがない」ので、筆算はできません。
よって、算数的（筆算的）に、この赤い不等式が正しいとするいわれはないのです。
（もちろん極限計算から、数学的（数Ⅲ的）にも、赤不等式が正しいようないわれはありません。）
赤不等式が成り立つと思う原因は、「0.999・・・は0.999・・・9なのだ、最後は9なのだ」と
無意識に考えてしまうことにあると思います。
ここで、「無意識に」とは「0.999・・・が9の永遠に続く循環小数だと知っていても」ということです。
「9が永遠に続くなら、最後は9になる」と考えてしまうのです。
（少なくとも筆者はそうであったと思います）
しかし、「最後」はないのです。
上の極限計算は
「最後がない」⇒「筆算できない、よくわからん」
⇒「論理的であることが保証される別の経路から答えを求めてみる」
というプロセスを踏んでおり、この結果「0.999・・・＝１」を信用することは妥当と思われますが、
気分的に受け入れがたくもあります。
そこで、0.999・・・のとらえ方を書きます。何かの足しになれば幸いです。
極限値とは、目標あるいは行き先のことです。
たとえば、
lim x ＝ 0
x→0
とは、ｘが0に近づくといっているだけで、ｘ＝０といっているのではありません。
limxとはｘが近づく目標でありｘがとる値ではないのです。
ｘ→0のとき ｘ → lim x
ｘ→0
と書くと、イメージしやすいかもしれません。
極限値lim xはｘの行き先を表すシンボル（記号）です。
0.999・・・は極限値ですから、小数とかの数ではなく記号ととらえます。
目標「lim 0.999・・・9」 のことを形式的に 0.999・・・ と書いてるだけです。
0.999・・・は、0.999・・・9が近づく目標であって、
「9を増やしたときに、最終的に0.999・・・9が取る値」とかではないのです。