命題
自然数Nの桁数がkであるとき、
10ᵏ⁻¹≦N<10ᵏ
⇔k-1≦log₁₀N<k
⇔k=[log₁₀N]+1
が成り立つ。
ただし、[ ]はガウス記号。
証明
常用対数が狭義単調増加であることを使うだけ。(終)
2²ººが何桁の自然数であるかを求めよ。
ただし、log₁₀2=0.3010であることを用いてよい。
解答例
2²ººがk桁の自然数であるとする。
このとき、
10ᵏ⁻¹≦2²ºº<10ᵏ
⇔log₁₀10ᵏ⁻¹≦log₁₀2²ºº<log₁₀10ᵏ
⇔k-1≦200log₁₀2<k
が成り立つが
200log₁₀2=200×0.3010=60.20
よりk=61
すなわち、2²ººは61桁の自然数。