常用対数を利用して桁数を求める問題

命題

自然数Nの桁数がkであるとき、

10ᵏ⁻¹≦N<10ᵏ

⇔k-1≦log₁₀N<k

⇔k=[log₁₀N]+1

が成り立つ。

ただし、[ ]はガウス記号。

証明

常用対数が狭義単調増加であることを使うだけ。（終）

例題

2²ººが何桁の自然数であるかを求めよ。

ただし、log₁₀2=0.3010であることを用いてよい。

解答例

2²ººがk桁の自然数であるとする。

このとき、

10ᵏ⁻¹≦2²ºº<10ᵏ

⇔log₁₀10ᵏ⁻¹≦log₁₀2²ºº<log₁₀10ᵏ

⇔k-1≦200log₁₀2<k

が成り立つが

200log₁₀2=200×0.3010=60.20

よりk=61

すなわち、2²ººは61桁の自然数。