前回の続きです。
今日は、１つの内角の二等分線と、それ以外の２つの頂点の外角の二等分線がなぜ、1点でまじわるのかを軽く説明します。
傍心が1点で交わることは、中学生にやらせるときは、大体作図をさせて終わらせてしまうこともあります。
生徒は作図をしていくと、本当に1点で交わるから感動してくれて終わるのですが、あまり深くなぜ？？と考えることがないみたいですね・・・・。
ちゃんとした理由というか理屈はあるのですけどね。
本当はここまで『グイグイ』来てほしいのですが、作図してうまくいったことに感動して、それ以上の探究心があまりないみたいです・・・。
さて。まずは、角の二等分線のについて、お話ししておきましょう。
角の二等分線というのは、ただ角を二等分する線というわけではありません。
角の二等分線は、『角の二辺から等しい距離にある点の集まり』
なのです。
つまり図でいうと下図になります。
図でわかるかしら？？∠ＢＡＣの二等分線は赤い部分の各辺(辺ＡＢと辺ＡＣ)と等しい距離にあります。
同様に緑の角の二等分線も同じことが言えるのですね。これも理由はもちろんあるのですが、ここでは省略します。
話は戻って、このときの、2つの角の二等分線は必ず交わります。それは、2つの直線が平行ではないので言えることです。
その交点を上図のようにＰとおきます。
それに加えて、等しい距離のことを図であらわすと下図のようになります。
上でお話ししたように、オレンジの部分の長さは、すべて同じ長さになっています。
さて、ここで、3つが交わる証明として、点Ｐと点Ｃを結びます。
青い線分です。この線分ＰＣが∠ＲＣＱの二等分線だ！ということをいえばいいのですが・・・・。
その理由をいうのは、簡単で、
∠ＰＣＲ＝∠ＰＣＱであることを言えばいいのです。
そして、それをいうために、△ＰＣＲと△ＰＣＱが合同だよ！ということを言ってしまえば、理由はこれで終わりです。
ちなみに、合同というのは、この２つの三角形がピタリと重なるときのことをいいます。
直角三角形の合同条件はここでは触れませんが、一つ言えることは、合同条件を満たした２つの三角形であるということです。
ということで、線分ＰＣが∠ＲＣＱの二等分線だということがいえたので、１つの内角の二等分線とほか２つのの頂点の外角の二等分線は1点で交わることがいえるのですね。
～余談～
点Ｐは、3つの辺からの距離が等しいので、この点Ｐを中心とした円もかけますそれが、以下の図です。
これを傍接円といったりします。