２０１３年の東北大理系数学です。
http://server-test.net/math/php.php?name=04_tohoku&v1=1&v2=2013&v3=1&v4=4&y=2013&n=4
それでは以下に、略解を記します。
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（１）
① ｂｎ＝∫[e＾（ｎ sinθ）]´／ｎ・ｄθ＝[e＾（ｎ sinθ）／ｎ]＝[e＾（ｎ／２）－e＾（－ｎ／２）]／ｎ (積分区間は[－π／６，π／６])
となります。
（２） －π／６≦θ≦π／６において√３／２≦cosθ≦１なので、
② e＾(ｎ sinθ)・cosθ≦e＾（ｎ sinθ）≦２／√３・e＾（ｎ sinθ）・cosθ
これを区間[－π／６，π／６]において積分することにより、ｂｎ≦aｎ≦２／√３・ｂｎが導かれ、題意は示されました。
（３） E（ｎ）＝e＾（ｎ／２）－e＾（－ｎ／２）と置くと、（１），（２）の結果より
③ ｎ・ｂｎ＝E（ｎ）≦ｎ・aｎ≦２／√３・ｎ・ｂｎ＝２／√３・E（ｎ）
よって
④ log E（ｎ）≦log（ｎ・aｎ）≦log E（ｎ）＋log(２／√３)
また、
⑤ log E（ｎ）＝log[e＾（ｎ／２）・[１－e＾（－ｎ）]]＝ｎ／２＋log[１－e＾（－ｎ）]
ｎが十分大きいなら右辺第２項の絶対値は１以下になるので、
⑥ lim[１／ｎ・log E(n)]＝１／２ （ｎ → ∞）
④，⑥より
⑦ lim[１／ｎ・log（ｎ・aｎ）]＝１／２ （ｎ → ∞）
となります。よって求める極限値は１／２であることが導かれました。
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落ち着いて考えるとそう難しくありませんが、本番で冷静に考えられるかどうかがカギになりますね。