込み入った話（PC推奨）
くだらない記事に付き合って頂き、ありがとうございました
数学猥談記事の注釈です
まず、カタラン数について
カタラン数の一般項は
Cn＝2nＣn－2nＣn-1＝…＝2nＣn／n+1
となります
半分にした格子点の最短経路を考えることで証明可能です
これについてはいろんな受験参考書に載っているので適当に見てみてください
また、パスカルの三角形Ｐと、各項を-1倍した－Ｐを1つずつずらして合成（重なった2数を加える）すると縦の列にカタラン数が現れます
なかなか面白いでしょ☆
パチンコの期待値計算ですが、以下のように証明します
0＜x(n)＜10 でのグラフ
0＜x(n)＜100 でのグラフ
0＜x(n)＜10000 でのグラフ
こんな感じです
実は、パチンコの問題についてはカットした部分があったんです
感覚でまず文章を書いてみたんですが、どうしても証明が出来なくて
以下、その部分を掲載します
-:-:-:-:-
「実際はアタリの何倍もの確率でハズレるんだよ」と思ったあなた！
実は、アタリの確率が1/2より小さくても（アタリよりハズレの方が可能性が高くても）、破産するまでの回数の期待値は∞になるんです
アタリの確率を1/r（２＜ｒ）とします
ハズレの確立は１－1/rです
ｋが奇数のときｋ回目に破産する確率は、k=2n+1とおいて、アタリはn回、ハズレはn+1回なので、
k-1Ｃ(k-1)/2 ／ (k-1)/2+1 × (1/r)^n * (1-1/r)^n+1
＝ 2nＣn * (1/r)^n * (1-1/r)^n+1 ／ n+1
破産するまでの回数の期待値は
∞
∑ (2n+1) * 2nＣn * (1/r)^n * (1-1/r)^n+1 ／ n+1
n=0
で表されて、計算結果はやはり∞となります
-:-:-:-:-
これがどうやっても説明できない
でも、∞に発散する気がしませんか？ lol
まぁ、ｒ→∞とかになってくるとまた状況も変わってきますが、1/rは“ある実数”ということで
いろいろ計算した結果、以下の式の値が分かれば証明できます
誰か、解けたら教えてください m(_|_)m
あと、Wikipediaで「ウォーリス」を調べると、なぜかアメリカのポルノ男優が出てきます lol
最後に、ラスロウ・ロバースの定理についてですが、
証明方法が全く分かりません！！！！
グラフ理論に詳しい方、教えてください m(_|_)m
ところで、今回記事を上げるのがかなり遅くなってしまいましたが、その理由は期待値計算です
答えは分かっていたのですが、証明が全く出来ませんでした
自分がよく分かんないことをさも分かったかのように載せるのは嫌だったので
まぁ、ラスロウ・ロバースの定理については、全く分からないんですが←
それはそれということで lol
っつーことで、今後ともよろしゅう頼みます
近々重大発表・・・か？
（※ミス等がありましたら優しく教えてください）
数学猥談記事の注釈です
まず、カタラン数について
カタラン数の一般項は
Cn＝2nＣn－2nＣn-1＝…＝2nＣn／n+1
となります
半分にした格子点の最短経路を考えることで証明可能です
これについてはいろんな受験参考書に載っているので適当に見てみてください
また、パスカルの三角形Ｐと、各項を-1倍した－Ｐを1つずつずらして合成（重なった2数を加える）すると縦の列にカタラン数が現れます
なかなか面白いでしょ☆
パチンコの期待値計算ですが、以下のように証明します
0＜x(n)＜10 でのグラフ
0＜x(n)＜100 でのグラフ
0＜x(n)＜10000 でのグラフ
こんな感じです
実は、パチンコの問題についてはカットした部分があったんです
感覚でまず文章を書いてみたんですが、どうしても証明が出来なくて
以下、その部分を掲載します
-:-:-:-:-
「実際はアタリの何倍もの確率でハズレるんだよ」と思ったあなた！
実は、アタリの確率が1/2より小さくても（アタリよりハズレの方が可能性が高くても）、破産するまでの回数の期待値は∞になるんです
アタリの確率を1/r（２＜ｒ）とします
ハズレの確立は１－1/rです
ｋが奇数のときｋ回目に破産する確率は、k=2n+1とおいて、アタリはn回、ハズレはn+1回なので、
k-1Ｃ(k-1)/2 ／ (k-1)/2+1 × (1/r)^n * (1-1/r)^n+1
＝ 2nＣn * (1/r)^n * (1-1/r)^n+1 ／ n+1
破産するまでの回数の期待値は
∞
∑ (2n+1) * 2nＣn * (1/r)^n * (1-1/r)^n+1 ／ n+1
n=0
で表されて、計算結果はやはり∞となります
-:-:-:-:-
これがどうやっても説明できない
でも、∞に発散する気がしませんか？ lol
まぁ、ｒ→∞とかになってくるとまた状況も変わってきますが、1/rは“ある実数”ということで
いろいろ計算した結果、以下の式の値が分かれば証明できます
誰か、解けたら教えてください m(_|_)m
あと、Wikipediaで「ウォーリス」を調べると、なぜかアメリカのポルノ男優が出てきます lol
最後に、ラスロウ・ロバースの定理についてですが、
証明方法が全く分かりません！！！！
グラフ理論に詳しい方、教えてください m(_|_)m
ところで、今回記事を上げるのがかなり遅くなってしまいましたが、その理由は期待値計算です
答えは分かっていたのですが、証明が全く出来ませんでした
自分がよく分かんないことをさも分かったかのように載せるのは嫌だったので
まぁ、ラスロウ・ロバースの定理については、全く分からないんですが←
それはそれということで lol
っつーことで、今後ともよろしゅう頼みます
近々重大発表・・・か？
（※ミス等がありましたら優しく教えてください）